Las magnitudes son las propiedades de los objetos materiales que se pueden cuantificar. Por ejemplo, la longitud, la superficie o el volumen de un cuerpo. O la capacidad de un recipiente.
No son magnitudes, por ejemplo, la belleza o la armonía. La asignación de valores numéricos a las cantidades de una magnitud se hace mediante el proceso de medida de dichas cantidades.
Este proceso comienza con una clasificación de los objetos atendiendo a la propiedad que se pretende cuantificar. Supongamos que el atributo elegido es la longitud. Los objetos se comparan según el criterio "es tan largo como". La comparacion proporciona una partición en el conjunto de objetos, de manera que cada subconjunto de la partición (clase de equivalencia) se caracteriza porque todos los objetos que lo forman tienen la misma longitud. Se ha obtenido una clasificación (relación de equivalencia) de los objetos de partida atendiendo al atributo "longitud".
Cada clase de equivalencia así obtenida recibe el nombre de cantidad de magnitud, en este caso cantidad de longitud. Es ahora posible comparar objetos que pertenecen a distintas clases de equivalencia con la seguridad de que siempre uno ser más largo que el otro. Y basta tomar un objeto de cada clase para la comparación sin que el resultado varíe.
Para medir una cantidad de magnitud se hace una comparación entre dicha cantidad y una cantidad patrón que se establece como unidad de medida. Por ejemplo, en el caso de las longitudes se suele tomar como unidad el metro. Si el valor de longitud que se intenta cuantificar es 7 veces mayor que el metro, se dice que su medida es de 7 metros.
Para poder decir que una cantidad es 7 veces mayor que otra, es necesario que las cantidades de esa magnitud se puedan sumar. Así una longitud de 7 metros es una longitud que equivale al resultado de sumar 7 veces la longitud de 1 metro.
(En matemáticas el concepto de magnitud se suele definir de forma abstracta, atendiendo a las relaciones que implica, prescindiendo de los objetos y fenómenos concretos a los que afecta. Por ello, desde un punto de vista matemático abstracto, una magnitud -escalar- se suele definir simplemente como un conjunto dotado de una operación interna, respecto a la que tiene estructura de semigrupo conmutativo, dotado de elemento neutro. La medida es una aplicación de la magnitud en un conjunto numérico).
Es evidente que el número natural no es suficiente para expresar el resultado de una medida en una magnitud, no siempre la cantidad de magnitud a medir contiene un número entero de veces a la unidad elegida. De aquí surge la necesidad de fraccionar la unidad con el fin de expresar los resultados con más fiabilidad y exactitud. Parece obvio que la construcción de los números racionales como extensión de los enteros es consecuencia de la medición de magnitudes.
Pero con la introducción de los números fraccionarios no termina la necesidad de ampliación de los conjuntos numéricos. No siempre se puede expresar el resultado de una medición mediante una fracción, mejor dicho, casi nunca se puede. Los pueblos anteriores a los griegos se contentaban con efectuar mediciones suficientemente aproximadas al problema físico a resolver. Fueron los matemáticos griegos los que descubrieron los intervalos inconmensurables.
La idea de que el cociente entre las longitudes de dos intervalos, considerando como unidad de longitud el divisor, fuera un número tiene su primera cronología en el siglo XVI con Bombelli y posteriormente con Descartes. Ampliando esta idea, los números reales se pueden considerar como longitudes y representarlos en una recta. La estructura numérica creada pretende responder a las necesidades concretas de medición y a los problemas de abstracción de las magnitudes geométricas. Para llegar a una definición rigurosa del número real se han necesitado las aportaciones de destacados matemáticos a lo largo de varios siglos: Newton (siglo XVII-XVIII); Cauchy (siglo XIX); Weierstrass (siglo XIX); Dedekind (siglo XIX-XX), Cantor (siglo XIX-XX)...