Desde tiempo remotos en física se sabe que el hecho de conocer las simetrías que posee un sistema que se desea estudiar ayuda a resolverlo. Existe una relación íntima entre las simetrías que tiene un sistema y las leyes de conservación del sistema. Por ejemplo, si un sistema es invariante antre las tralaciones entonces se conserva su momento lineal y si es invariante ante las rotaciones, se conserva su momento angular.

Vamos a ver la primera de estas propiedades desde el punto de vista clásico.

Supongamos la siguiente transformación para un sistema de partículas:

donde $\QTR{bf}{a}$ es un vector infinitesimal arbitrario. Esta transformación es lógicamente una traslación. Si el sistema permanece invariante ante esta transformación entonces la lagrangiana tiene que permanecer invariante:

El vector $\QTR{bf}{a}$ lo podemos sacar del sumatorio y utilizando las ecuaciones de Lagrange queda:

Como $\QTR{bf}{a}$ es un vector arbitrario, se verifica que:

Por tanto, el momento lineal total del sistema se conserva.

De la misma forma se puede demostrar que la invariancia ante rotaciones conduce a la conservación del momento angular total. En este caso la transformación es:

donde $\QTR{bf}{n}$ es un vector unitario arbitrario que va en la dirección alrededor de la cual se realiza una rotación infinitesimal de un ángulo $\varphi$ arbitrario.

En mecánica cuántica, sin embargo, es más sencillo ver la relación que existe entre las simetrías y las leyes de conservación. Las operaciones de simetría (traslaciones, rotaciones, ...) conservan la norma del vector de estado (o función de onda si estamos en la representación coordenadas), de modo que están representadas por operadores unitarios, es decir, operadores que verifican la condición:

La ecuación de Schrödinger es:

Supongamos una transformación de simetría representada por el operador unitario $U$ . Si el sistema queda invariante ante la transformación, entonces el vector:

también tiene que verificar la ecuación de Schrödinger si MATH la verifica, de modo que:

Por tanto, se tiene que cumplir que:

por tanto el operador hamiltoniano conmuta con $U$ . Esta última ecuación también se puede escribir como MATH , que nos indica que el hamiltoniano es invariante ante la transformación de simetría. Ahora bien, qué relación hay con las leyes de conservación? ya que aunque el hamiltoniano conmute con $U$ no es una constante del movimiento ya que no tiene por qué ser hermítico. Muchas transformaciones de simetría dependen de uno o varios parámetros que indicaremos como $\varepsilon$ (en la translación sería la distancia y dirección de la traslación, en la rotación la dirección y en ángulo de giro,...), de forma que $U=U(\varepsilon )$ y de modo que $U$ tiende a la unidad cuando $\varepsilon$ tiende a cero (esto no es cierto para ciertas transformaciones como la inversión espacial). Si consideramos valores de $\varepsilon$ infinitesimales y desarrollamos $U$ en potencias de $\varepsilon$ , podemos escribir los dos primeros términos de la forma:

Pues bien, si $U$ es unitario hasta primer orden en $\varepsilon$ entonces se puede ver que $A$ tiene que ser hermítico, y si $U$ conmuta con el hamiltoniano, también lo hará el operador $A$ ( $A$ pueden ser varios operadores si $\varepsilon$ son varios parámetros, de modo que habrá un operador por cada parámetro). Por tanto, ya tenemos la constante del movimiento, que es el operador hermítico $A$ . Este operador se denomina el generador de la transformación de simetría. En el caso de las traslaciones el generador es el operador momento lineal y en las rotaciones el momento angular.

La ventaja de este tratamiento cuántico es que es genérico y no depende de cual sea la transformación $U$ .