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Las fracciones y los números racionales son nociones matemáticas aplicables a una variedad de situaciones fenomenológicas (situciones matemáticas que emergen de la vida cotidiana, de fenómenos de la vida natural y social, o de la propia matemática). De acuerdo con los trabajos de Kieren (1976), Behr (1983) y Dickson y col. (1984), las fracciones pueden ser interpretadas como relación parte-todo, como cociente, como razón y como operador.

La fracción como relación parte-todo

La interpretación de las fracciones como relación parte-todo se produce cuando un todo (continuo o discreto) se divide en partes iguales. La fracción (propia) indica la relación existente entre el todo, que recibe el nombre de unidad, y el número de partes que se consideran de dicha unidad.

El proceso de partición de la unidad y de comparación de una parte con el todo acompaña de forma natural a los procesos de medida. Recordemos que medir es, en síntesis, comparar con una unidad, arbitrariamente elegida, expresando esa comparación mediante un número. Por ejemplo, decir que una longitud es de 3 metros, quiere decir que esa longitud se ha comparado con la unidad de longitud arbitrariamente establecida, con el metro, de forma que la longitud medida es 3 veces mayor que un metro. Las fracciones aparecen, de forma prototípica, cuando la cantidad a medir es menor que la unidad. Así, 1/3 expresa que la longitud medida es 3 veces más pequeñas que el metro.

Sobre esta interpretación de la fracción como relación parte-todo, implicando magnitudes continuas (longitud, superficie, etc.), se basan generalmente las secuencias de enseñanza de las fracciones en el ámbito escolar, dada la facilidad de comprensión de esta interpretación.

Hart (1980), al estudiar en el proyecto CSMS una muestra representativa de niños ingleses de 12 y 13 años encontró que un 93% de los niños entrevistados eran capaces de sombrear correctamente un contorno de 2/3 en una figura rectangular aunque esta proporción se reducía al 79% cuando se pedía a los niños que efectuasen la operación inversa, expresando como fracción una región dada.

En el caso de la consideración de la relación parte-todo implicando magnitudes discretas, los resultados son similares aunque algo inferiores.

Así, Hart (1980) en el estudio CSMS, sobre la cuestión:

En un envase de 12 huevos hay 5 que están cascados. ¿Qué fracción de huevos del envase está cascada? ¿Qué fracción de huevos del envase no está cascada?

encontró que el 70% y el 66% de los niños obtuvieron respuestas correctas a ambas preguntas, respectivamente.

La fracción como cociente

En la interpretación de las fracciones como cociente se asocia la fracción a la operación de dividir un número natural por otro.

Por ejemplo, 3/5 podría representar la acción de dividir 3 litros entre 5 personas.

Hart (1980) en el estudio CSMS encontró que solamente un tercio de los alumnos de los dos primeros años de secundaria conoce, de forma operativa, que un número entero puede ser dividido por cualquier otro, dando un resultado expresable mediante una fracción.

Propuso, al respecto, la cuestión:

Hay que repartir a partes iguales tres barras de chocolates entre cinco niños. ¿Cuánto debería recibir cada niño?

En otro apartado se pedía además calcular 3:5 (3 dividido por 5). En cada caso, el 33% de los niños respondió correctamente 3/5 (o 0,6).

Esta interpretación de las fracciones como cociente aparece de forma natural en el contexto de las operaciones aritméticas realizadas con ayuda de calculadoras. Surge, como cuestión anexa la relación entre fracciones y números decimales.

La fracción como razón

En la interpretación de las fracciones como razón, la fracción aparece como razón de una proporción.

Por ejemplo, la razón como escala, en una comparación de longitudes.

En este caso, al ser una relación entre partes, no se dispone de una unidad de referencia, lo que introduce un factor de complejidad añadida. Diferentes estudios sugieren que la mayor parte de los adolescentes tienen dificultades para asimilar esta noción.

La fracción como operador

En el caso de la fracción como operador, la fracción actúa como transformación, como función. El conjunto original puede ser un conjunto numérico o una magnitud.

Un caso prototípico lo constituyen los porcentajes.

A pesar de su incidencia en la vida cotidiana, no existe muchos estudios relativos a la problemática asociada con esta interpretación.

Complementamos estas ideas con un artículo de Case (1998), que estudia la construcción de esquemas conceptuales en el campo de los números racionales.