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ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Y PARA LA EVALUACIÓN

ORIENTACIONES GENERALES

1. Como aparece en la Introducción, las Matemáticas poseen una estructura particularmente rica y coherente en la que todos sus elementos están interrelacionados y resulta difícil entenderlos por separado. Así pues, aunque los contenidos del área están organizados en grandes bloques para una descripción más clara, esto no significa que los bloques deban tratarse por separado.

2. Las actividades deberán relacionar varios bloques en torno a distintos temas y, además, deberán relacionar distintos tipos de contenido, pues sería difícil imaginar el tratamiento de los números sin ligarlo a las operaciones que se pueden realizar con ellos en distintas situaciones, y sin que el niño viera la importancia de su utilidad. Igualmente seria difícil, por poner otro ejemplo, abordar las formas geométricas sin los números, sin la medida, sin que los niños construyan, comparen y relacionen diferentes formas y sin que, además, se haya despertado en ellos curiosidad e interés.

3. Las actividades de Matemáticas deben diseñarse de manera cíclica o espiral de modo que los mismos contenidos se trabajen varias veces durante la Educación Primaria y algunos, incluso, después en Secundaria Obligatoria, apareciendo bajo formas cada vez más elaboradas y complejas. Volviendo al ejemplo de los números, el campo numérico se amplía a través de la Educación Primaria y continúa ampliándose en Secundaria Obligatoria, así como las relaciones que se establecen entre ellos van siendo cada vez más complejas en el transcurso de la escolaridad.

4. Otro criterio general que se debe tener en cuenta a la hora de secuenciar los contenidos, es el carácter jerarquizado de las Matemáticas. Como se verá después en el apartado de secuenciación de los contenidos, no se pueden entender los números fraccionarios sin haber comprendido previamente los números naturales, ni se entiende la multiplicación sin antes haber entendido la suma. Este carácter jerarquizado de los contenidos matemáticos indica que la posibilidad de pasar de un tema a otro depende con frecuencia de una buena comprensión de las cuestiones anteriores.

5. La presentación de los contenidos del área se hará a partir de las propias experiencias de los alumnos, procurando evitar excesivo formalismo. El acercamiento a los contenidos matemáticos debe apoyarse, siempre que sea posible, en actividades prácticas y en la manipulación de objetos concretos para seguir avanzando hacia formas más figurativas y simbólicas que faciliten la abstracción.

6. Después de hacer estas consideraciones básicas, puede ser útil tener presentes algunas cuestiones generales del proceso de enseñanza y aprendizaje, cuestiones que habrá que tener en cuenta en el diseño de actividades didácticas.

La mayoría de los niños, cuando llegan a la Educación Primaria, poseen un amplio bagaje de conocimientos matemáticos: el preconcepto de número, el de medida, ya establecen algunas relaciones de forma, etc. Estos conocimientos los han ido adquiriendo en los primeros años de su vida, en diferentes experiencias que le han permitido: establecer semejanzas y diferencias entre agrupamientos de diversa índole, realizar mediciones a un nivel rudimentario, manipular objetos y explorar relaciones entre ellos... Todas estas experiencias proporcionadas por el medio familiar, los Centros de Educación Infantil, la televisión, etc. han sido el motor en la adquisición de estos conocimientos -algunos erróneos, otros incompletos- con los que el maestro va a contar para iniciar el tratamiento de los contenidos matemáticos de esta etapa.

Sin embargo, en este punto inicial de la Educación Obligatoria existen grandes diferencias de partida entre los alumnos, debidas éstas, en parte, a los estímulos que el medio socio-cultural en que se desenvuelven les ha proporcionado y al hecho de que unos niños hayan asistido a los Centros de Educación Infantil. En Matemáticas, como en otras áreas, el maestro debe tener en cuenta estas diferencias y proporcionar al alumno, en el momento oportuno, los apoyos que le ayuden a superar los diferentes niveles con los que inicia esta etapa.

7. Al iniciar la escolaridad primaria, como en cualquier momento del proceso de enseñanza y aprendizaje, antes de abordar nuevos contenidos, habrá que comprobar los conocimientos que el niño posee y hasta qué punto los posee. Puede suceder que el niño sepa perfectamente sumar y no sepa que tiene que utilizar la suma en las situaciones problema en que se hace necesaria; en este caso, el niño conoce la operación de la suma, pero si no sabe utilizarla cuando es preciso, demuestra que no posee la noción de suma, es decir, que no se ha apropiado realmente de este aprendizaje.

8. Para que el niño progrese y afiance sus conocimientos, el maestro deberá buscar las causas de los errores cometidos, modificar las estrategias de actuación y, así, procurarle éxitos que eviten el desaliento del alumno.

Asimismo, habrá que tener en cuenta que los niños aprenden matemáticas a ritmos muy diferentes, como también son diferentes los procesos de desarrollo, por lo cual el maestro deberá "ajustar" los aprendizajes buscando estrategias de actuación, unas que convengan a toda la clase y otras que atiendan a la diversidad. El maestro no debe permitir que los alumnos experimenten repetidos fracasos.

El estudio prematuro de ciertos contenidos matemáticos puede ser la causa de bloqueos y fracasos (por ejemplo, trabajar antes de tiempo la formalización de propiedades en las operaciones con números naturales, las operaciones con números fraccionarios y decimales, o el estudio formalizado de leyes y propiedades de conceptos geométricos). Para evitar este error, el maestro, además de verificar los conocimientos asimilados, deberá contar con ellos y partir de situaciones reales o inventadas que resulten comprensibles para abordar el nuevo aprendizaje. En la mayor parte de los casos, es solamente así como el niño podrá incorporar nuevos contenidos que faciliten su desarrollo.

9.- Por otro lado, hay que tener siempre presente que el alumno es el protagonista de su propio aprendizaje. Por esta razón, las actividades deberán ir encaminadas a posibilitar que el alumno construya conceptos matemáticos, adquiera las destrezas necesarias y demás contenidos en diversas situaciones que partan de sus vivencias (se aprovechará el entorno con actividades fuera del aula, espacios comunes, jardín, localidad, etc.). Se utilizará el carácter lúdico que ofrecen los juegos, los problemas creativos o los de desarrollo lógico como un factor motivante y atrayente en la enseñanza de las matemáticas.

El interés que el niño tiene por el conocimiento está en relación directa con la parte activa que toma él mismo en su adquisición. La acción y la reflexión sobre lo que se hace son esenciales en la formación del pensamiento mismo, no hay concepto fundamental en Matemáticas que no tenga su acción generadora (por ejemplo, la noción de número natural se organiza por la acción de coordinar agrupamientos y por la reflexión sobre esta acción). Para ello, el maestro deberá elegir situaciones con objeto de despertar interés y así fomentar la actividad creadora. Se idearán actividades abiertas en las que los alumnos expresen intereses y planteen preguntas y problemas variados (abiertos, cerrados, con solución única o varias soluciones, con preguntas o sin ellas, con falta de datos o con datos no necesarios,. . .) en las que sea posible la utilización de diferentes estrategias.

10. El maestro es el mediador entre los conocimientos que el niño posee y los que se pretende que adquiera, es el guía en la construcción del conocimiento matemático del propio alumno. Para ello tiene que ayudar al niño a que establezca relaciones sustantivas entre lo que ya conoce y lo que aprende, y a que reflexione sobre el contenido matemático investigando, discutiendo sus ideas y escribiendo lo que ha descubierto. De esta manera, el maestro se dará cuenta de lo que saben sus alumnos y de cómo lo aprenden.

El maestro debe ajustar el nivel de ayuda pedagógica a las diferentes necesidades lo que comporta un trato personal con cada alumno, una determinada organización del trabajo en el área (trabajo individual, de grupos o de toda la clase), e incluso la utilización de diferentes métodos. La metodología adoptada por el maestro atenderá a los diferentes ritmos de aprendizaje, a las estrategias más idóneas para cada contenido, a su propia preparación y a los recursos que disponga, actuando siempre con flexibilidad.

11. Para trabajar el aspecto manipulativo, el maestro recurrirá a un material alternativo familiar a los niños (frutas, bolas, corchos, etc.), junto a los materiales comercializados (ábacos, regletas, bloques, etc.). Del mismo modo, se acostumbrará a los niños a utilizar instrumentos alternativos de medida (cartulinas o libros para el trazado de líneas, cuerdas o hilos para trazar circunferencias, etc.), junto a los instrumentos propios de esta etapa (regla, escuadra, compás, semicírculo, etc.). También debe contemplarse la existencia en el aula de un amplio material impreso, además de los libros de texto: fichas de trabajo, catálogos, folletos, hojas de publicidad, etc.

Los materiales audiovisuales pueden enriquecer ciertas actividades matemáticas y generar una actitud positiva hacia el área. Estos materiales pueden consistir en presentaciones históricas e ilustraciones que sirvan de apoyo o de punto de partida de actividades matemáticas. También pueden ser de gran utilidad documentos auténticos con referencias matemáticas, procedentes del entorno audiovisual, y otros creados especialmente para tal fin.

Asimismo, el ordenador puede considerarse un recurso didáctico que aporta nuevas posibilidades a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Un uso adecuado del mismo puede facilitar la adquisición y consolidación de conceptos y destrezas matemáticas. Son aconsejables los programas que se adaptan al ritmo de aprendizaje del alumnado que interactúa con ellos, proponiendo distintos tipos de ejercicios en relación con los errores que se cometan. Es importante señalar que el ordenador no debe sustituir a la experiencia real del alumno ni debe utilizarse en actividades aisladas, mecánicas y repetitivas.

12. Además de las indicaciones ya hechas en todo lo anterior, hay que señalar el papel importantísimo que desempeña la buena actitud del maestro en esta área, transmitiendo el gusto por la misma, dándole en algún momento un carácter lúdico y teniendo muy presente la acción positiva que en cada momento se puede llevar a cabo para rectificar la posible discriminación. De esta manera se puede contribuir a una mayor riqueza y complejidad de las relaciones que se establezcan en clase (los alumnos entre sí y éstos con el maestro). Esta actitud condicionará en el niño el gusto por las Matemáticas, el interés por aprenderlas y, en gran medida, el éxito en las mismas.

13. Las Matemáticas se relacionan con todas las áreas del currículo. Por un lado, los contenidos matemáticos constituyen una herramienta necesaria para el estudio de otras áreas (por ejemplo, el friso del tiempo necesita de la representación gráfica del número; la construcción de maquetas, de contenidos geométricos; algunas actividades de Educación Física exigen medidas de distancias y de tiempos...). Las Matemáticas "se hablan", "se dibujan", "se construyen", y así se enriquece el lenguaje, la expresión artística, la tecnología,...

Y por otro lado, las Matemáticas se trabajan en situaciones próximas al niño (contar, medir o buscar formas requiere objetos, espacios, distancias, etc., relacionados con ese entorno que para el niño es familiar). El grado de dominio del lenguaje habitual condicionará el aprendizaje de los contenidos matemáticos.

Secuenciación de los contenidos

14. En primer lugar se recuerdan ciertos criterios generales de organización de contenidos

Los contenidos de los distintos bloques deberán presentarse interrelacionados, nunca disociados entre sí, pues el aprendizaje de unos incide, perfecciona y complementa el de otros.

El planteamiento será de forma cíclica en diversos niveles de complejidad creciente. Los contenidos que se contemplan en un primer nivel serán la base o los previos para niveles siguientes. Según se va progresando en su estudio se van introduciendo otros nuevos a la vez que se profundiza en los anteriores.

15. En cuanto a la secuenciación de contenidos existe una jerarquía que los ordena (la suma es anterior a la multiplicación, los números naturales anteriores a los fraccionarios, ...), sin embargo, algunos contenidos se prestan a secuenciaciones diferentes (los números y sus operaciones se trabajan simultáneamente con la medida o no, los números fraccionarios se pueden tratar con anterioridad a los decimales o al revés, la identificación de figuras planas previamente a las espaciales o viceversa, ...). A este respecto, y atendiendo a las características psicopedagógicas de esta etapa, parece oportuno señalar el orden más adecuado en el que deben aparecer. Por esta razón se hacen algunas indicaciones a ciertos contenidos en relación con otros sin que esto suponga que el profesor renuncie a ciertas prácticas que su experiencia le ha confirmado válidas.

16. El trabajo con los números naturales se realiza simultáneamente al de las operaciones, ampliando la dificultad de estas operaciones a medida que se incrementa la magnitud de los números. Esta magnitud se va ampliando atendiendo a que puedan ordenarlos, compararlos, representarlos e imaginarlos. No se puede trabajar con las decenas sin haber trabajado previamente con las unidades en diferentes situaciones. ni trabajar las centenas sin haberlo hecho con las decenas...

17. Para las operaciones, se aconseja que la noción de suma vaya unida a la resta, pues se implican la una en la otra por complementariedad. A continuación, la multiplicación como sumas sucesivas de números iguales, para seguir con la potenciación, con el grado indicado en el contenido, y con la división. Es necesario la noción clara de división para abordar los porcentajes al final de la etapa entendidos éstos únicamente como "tantas unidades enteras" de cada grupo de cien.

18. Los números fraccionarios se abordarán como partes de un grupo o de magnitudes continuas en diferentes contextos (repartos y medida). Mediante trabajos manipulativos se comienza con medios, cuartos..., el décimo se relacionará con el Sistema Métrico Decimal y con los números decimales. Los números negativos se tratarán especialmente en sus aspectos codificables (temperatura, pisos de sótanos, competiciones deportivas, etc.).

19. El inicio de la medida se hará utilizando unidades corporales (palmos, pies, pasos...), pasando a continuación a unidades arbitrarias (cuerdas, vasos, bolas...), y finalmente se pondrá a los alumnos en la necesidad de utilizar las unidades convencionales universales relacionándolas con las unidades de medida locales en uso.

Los múltiplos y submúltiplos del Sistema Métrico Decimal se irán incorporando según las necesidades de medida, estableciendo relaciones entre ellas y teniendo en cuenta el campo numérico en el que se está trabajando.

La medida de ángulos se realizará a partir del ángulo recto y se establecerán comparaciones con él. Al final de la etapa, se medirán y construirán ángulos en grados con la ayuda del círculo graduado.

20. El trabajo con formas planas y espaciales se aconseja iniciarlo con el reconocimiento e identificación de cuerpos y formas del entorno próximo en el que se mueve el niño; estableciendo, a continuación, comparaciones y relaciones entre ellos y sus elementos, y haciendo clasificaciones según sus distintas características. Posteriormente se representan las formas planas, y se construyen formas espaciales a partir de modelos desarrollados, y se concluye con la descripción completa de cada una de las formas planas y espaciales con todos los elementos.

21. Paralelamente a las unidades de medida de longitud se trabajarán las distancias y los desplazamientos, comenzando con unidades corporales y de fácil manejo, para llegar al uso de unidades del Sistema Métrico Decimal. Los perímetros irán igualmente ligados a la medida de longitud, así como las áreas a las medidas de superficie. Se abordará el estudio de las áreas realizando la medida de superficies con diversas unidades (cuadrados, rectángulos,...) con los que se recubren las formas planas para llegar posteriormente, mediante la exploración y observación, al cálculo de áreas.

22. Los contenidos de orientación y situación de objetos en el espacio habrá que introducirlos partiendo de la situación del mismo niño en su entorno, conociendo los puntos de referencia (domicilio familiar, colegio parque...) dándole confianza en sus desplazamientos. Se seguirá con actividades de realización de croquis-itinerarios y de reconocimiento de los puntos en planos del lugar (localidad, barrio, zona...). Se culminará el aprendizaje situando los puntos en ejes de coordenadas (batalla naval, crucigramas...) de gran utilidad en el manejo de mapas.

23. En los primeros años de la Etapa se pueden realizar dibujos de gráficos (pictogramas), y continuar con representaciones más complejas. Al mismo tiempo, se comentará e interpretará la información que contienen los gráficos dibujados y elaborados por los niños, y otros sencillos. En paralelo con el área de Conocimiento del Medio, se trabajarán diferentes gráficos y tablas de frecuencia recogidos de las distintas fuentes de información, y se harán comentarios de ellos, igualmente se trabajará la media y la moda.

ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN

24. Como se ha ido indicando o se deduce a través de todas las orientaciones didácticas en Matemáticas -y como ocurre en otras áreas- la evaluación es parte integrante del proceso de enseñanza/aprendizaje.

Atendiendo a los Objetivos Generales de Matemáticas parece importante señalar aspectos que, por su novedad o por olvido, no se han tenido en cuenta o se han dejado relegados a un segundo plano. Estos contenidos son especialmente los actitudinales y los referentes a la estimación. Tenerlos en cuenta modifica en gran manera la elección de técnicas e instrumentos aconsejables para la evaluación.

Así pues, para saber si un niño ha alcanzado los Objetivos Generales de Matemáticas habrá que verificar no solamente la adquisición de conceptos y destrezas, sino también todos los contenidos actitudinales en los bloques del área (creatividad, originalidad, colaboración, ...). Por otra parte, habrá que comprobar no solamente los resultados exactos de las operaciones, sino también las medidas y cálculos estimativos que se realizan al inicio o al final de cualquier actividad en Matemáticas, y el razonamiento lógico en los procesos seguidos.

25. Estas consideraciones implican una evaluación continua y diferenciada para cada uno de los alumnos, así como también, unos criterios específicos en la realización de actividades de evaluación. Se hacen necesarios instrumentos de evaluación con un carácter cualitativo que permitan al maestro verificar la eficacia de las actividades diseñadas modificándolas siempre que sea preciso- y comprobar la adquisición de los diferentes contenidos.

26. Algo esencial en la evaluación, aunque también se ha indicado en capítulos anteriores, es lo referente al rendimiento en Matemáticas, que varía enormemente en cada niño. El aprendizaje de ciertos contenidos va a estar condicionado por el grado en que se han adquirido otros previamente. Especialmente en las actividades de Matemáticas, el maestro tiene que saber que es inútil avanzar si no se poseen ciertos conocimientos que permitan progresar en la adquisición de otros nuevos.

27. En la evaluación, como parte intrínseca del aprendizaje, habrá que tener en cuenta especialmente los momentos de discusión del grupo con el maestro cuando los niños manifiestan -implícita o explícitamente certezas, dudas y errores. El profesor deberá analizar y aprovechar estas intervenciones para verificar adquisiciones, descubrir errores y encontrar la forma de rectificarlos. Estos momentos brindan al maestro la oportunidad de seguir el proceso realizado por el niño, para reorientarlo -si hace falta- aprovechando los errores cometidos.

De lo anterior se deduce una visión nueva, por parte del maestro, de los errores de los alumnos, no como faltas que hay que sancionar sino como medio de acceso a otros conocimientos o a la rectificación de algunos. Esta visión es menos traumatizadora y más estimulante para el niño.

28. Mediante la observación, el profesor podrá comprobar el grado de adquisición del aprendizaje, así como también podrá ver las actitudes y los hábitos ante el trabajo escolar, las características del grupo y las interrelaciones que se establecen. La observación hecha por el maestro y la recogida en fichas individuales o de grupo, es una de las piezas clave en el proceso de evaluación.

29. Además de la observación realizada por el maestro en la verbalización que el trabajo matemático requiere, es conveniente plantear otras técnicas o instrumentos de evaluación en los trabajos elaborados por los niños y mediante pruebas.

Para el análisis de trabajos, pueden ser útiles: fichas de trabajo individual, cuadernos, trabajos monográficos interdisciplinares, etc.

En relación con los criterios expuestos en las Orientaciones Didácticas, no se entenderán las pruebas como exámenes tradicionales, lo que habrá que evaluar serán las actividades prácticas de los alumnos, las pruebas objetivas, y pruebas abiertas que no supongan una barrera selectiva.

30. En coherencia con lo anterior, las correcciones del maestro no se limitarán a tachar faltas y errores cometidos. No se hará una simple valoración numérica y menos aún observaciones infravaloradoras.

El enfoque que se le ha dado a las Matemáticas exige una evaluación diferente a la que comúnmente se utiliza. Se pretende hacer un seguimiento en el proceso de aprendizaje que conlleve apoyo y estímulo, y que en ningún caso origine sentimiento de fracaso.

ORIENTACIONES ESPECIFICAS

31. Tras haber expuesto algunas orientaciones generales que pueden servir de ayuda en la práctica educativa, es importante dar algunas orientaciones concretas referentes a aspectos relevantes olvidados, relegados a un segundo plano, o simplemente novedosos en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, como son: el cálculo mental, el lenguaje, la estimación, la resolución de problemas, la geometría y el uso de la calculadora.

Cálculo mental

32. Durante bastante tiempo se ha olvidado en las aulas el cálculo mental, aunque últimamente se haya hecho un esfuerzo por recuperarlo. Su olvido se ha debido, en parte, por creer que las calculadoras podían suplirlo, pero sobre todo, por no reconocer su importancia en las Matemáticas de Educación Primaria. Es obvia su utilidad dado que la mayor parte de las operaciones que se necesitan en la vida diaria se hacen mentalmente y, además, el cálculo mental contribuye de una manera especial a la adquisición de algunas capacidades propias de esta etapa.

Por medio del cálculo mental se desarrollan: la concentración, la atención, el interés y la reflexión para decidir y elegir; la autoafirmación y la confianza en sí mismo, la flexibilidad en la búsqueda de soluciones; y la capacidad para relacionar, comparar, seleccionar o dar prioridad a unos datos frente a otros a la hora de operar.

33. Las bases del cálculo mental son: el dominio de la secuencia contadora y de las combinaciones aritméticas básicas. Para conseguir un buen cálculo mental se hace necesario, además, el aprendizaje de una serie de métodos y estrategias que permitan al alumno operar tanto en el cálculo mental aditivo (conmutación, descomposición, redondeo, conteo, duplicado, etc.), como en el cálculo mental multiplicativo (distribución, factorización, etc.). Todo ello mediante un proceso de exploración que le permita, no sólo conocer la existencia de determinadas estrategias, sino también reflexionar sobre ellas para elegir o utilizar la más adecuada en cada situación.

34. A medida que se avanza en la adquisición de estrategias de cálculo mental, se irá incrementando la dificultad en rapidez y en complejidad.

El aprendizaje del cálculo mental supone la reflexión y verbalización de diversas estrategias utilizadas en una determinada operación. Al profesor le servirá para aprovechar errores, evaluar y reorientar el proceso seguido.

El cálculo mental debe estar estrechamente ligado al aprendizaje de todos los contenidos del área de Matemáticas, cualquier situación será buena para trabajarlo. Junto al cálculo mental expresado oral mente, se realizarán una serie de actividades escritas que favorezcan y afiancen las estrategias y métodos que se utilizan (tablas de doble entrada, seriaciones, gráficos, etc.).

El lenguaje

35. Aunque ya en apartados anteriores se han señalado las estrechas vinculaciones que unen la Lengua y las Matemáticas, se cree importante hacer hincapié en esta interrelación por las siguientes consideraciones:

o El papel del lenguaje en las Matemáticas es importantísimo porque gran parte del trabajo en esta área se perderá si las actividades y los resultados obtenidos no son objeto de discusión con los alumnos.

o Las Matemáticas enriquecen la experiencia lingüística, especial mente desarrollan la precisión, la sensibilidad en el uso de la lengua y enriquecen el léxico.

36. El trabajo oral en Matemáticas confiere significado a los conceptos mediante las relaciones que se pueden establecer con la propia experiencia de los alumnos y, especialmente, con tareas que hayan realizado con anterioridad (por ejemplo: asociación de contorno perímetro), hace posibles los procedimientos basados en la verbalización (por ejemplo: "explicación oral de un problema numérico u operatorio y del proceso de resolución desarrollado"), contribuye a la adquisición y mejora de ciertas actitudes (por ejemplo: "valoración de la precisión del lenguaje matemático para comunicar situaciones"), y además se suscita el interés por el conocimiento, se adquiere confianza en sí mismo, se favorece el espíritu de colaboración, etc.

37. Los niños cuando llegan a la escuela muestran diferencias En cuanto las destrezas lingüísticas. Poseen un mayor o menor dominio de la lengua oral y, concretamente, cuentan con un bagaje de léxico matemático más o menos rico (mayor que, menor que, más, menos, recta, plana ...). A través de las actividades y de las discusiones en Matemáticas se va desarrollando la comprensión de expresiones y términos de este tipo, y se va progresando en el desarrollo del lenguaje matemático en la etapa, enriqueciendo así su lenguaje habitual.

Las indicaciones que se dan a los niños para realizar ciertas operaciones, se presentan de formas lingüísticas variadas, (por ejemplo se puede expresar "cuatro y cinco", "cuatro más cinco", "a cuatro se le suma cinco"). Otras veces, con distintas palabras se expresa un mismo concepto (por ejemplo, superficie, área y extensión). El niño ha de interpretar estas expresiones que son sólo diferentes en apariencia. El alumno experimentará dificultades al realizar ejercicios y al resolver problemas expresados en palabras si no está familiarizado con las muchas formas en que puede expresarse la misma idea matemática.

Estimación

38. Hasta ahora, la práctica habitual en la escuela es el trabajo, casi exclusivo, de los aspectos referentes a la exactitud en Matemáticas. Esto corresponde a una concepción tradicional de las Matemáticas como ciencia exacta por excelencia.

Es corriente asociar el trabajo en Matemáticas a un tipo de actividades y preguntas como: "haz el cálculo exacto", "¿cuánto mide exactamente?", o "¿qué resultado te da?" -resultado entendido siempre como respuesta exacta-.

Sin embargo, podemos observar que en la vida cotidiana una gran parte de problemas se resuelvan haciendo estimaciones -"tardaré más o menos una hora", "había más de cien personas", "con este trozo de tela tendré suficiente"-. En estudios posteriores, muchos contenidos en Matemáticas están basados en la estimación (formulación de hipótesis, cálculos probabilísticos...).

39. Sin quitar la importancia debida a la búsqueda de la exactitud, sería útil darle el valor que se debe al desarrollo de la capacidad de estimar. La estimación puede ser el método más eficaz de llegar a la exactitud cuando ésta se hace necesaria.

La estimación es útil antes de efectuar el cálculo o la medición, como una respuesta aproximada. Esto va a permitir verificar si el resultado de la operación es de un orden de magnitud correcto (por ejemplo, "26+60', dará un resultado "inferior a 90").

La estimación también es útil después de la operación para juzgar si el resultado parece razonable (por ejemplo, "3000", no puede ser el resultado de "26x10"). E igualmente es útil para seleccionar la unidad adecuada en situaciones concretas de medida (por ejemplo, no es adecuado medir la página de un libro en metros).

40. Para realizar estimaciones de medida y cálculo habría que adquirir ciertas habilidades que se consiguen con la práctica, a este respecto se hacen a continuación las siguientes consideraciones:

o Por una parte, la estimación está muy relacionada con el cálculo, la resolución de problemas y, sobre todo, con el concepto de medida (longitud, áreas, capacidad, masa, . . . ) por lo que se trabajará vinculada a estos aspectos.

o Por otra parte, la estimación es imposible desarrollarla si no se realizan previa y paralelamente mediciones de objetos reales. De este modo el error cometido disminuye con el número de estimaciones realizadas. También será necesario practicarla con cada una de las unidades que se van presentando al niño, para favorecer la propia estimación y el aprendizaje sobre unidades que hay que usar en una medición concreta.

41. En la estimación vinculada a la medida, el niño comienza realizando comparaciones entre los objetos atendiendo a su longitud, esto le permite interiorizar y clarificar los conceptos de: mayor que, menor que,... Posteriormente, apoyado en la experiencia e interiorización del valor de las unidades corporales de medida (palmo, pie, paso,...) estima la medida de objetos cercanos (medida de la puerta, largo de la clase,...), después realiza la medida exacta de los mismos y compara los resultados para descubrir el error cometido en la estimación. Se repite el mismo proceso con unidades de medida convencionales.

Se ha de acostumbrar a los niños a que sepan lo que miden su palmo, su pie, etc. para que pueda utilizarlos como instrumentos de medida aproximada.

Es necesario realizar en voz alta muchos de estos cálculos; pensar, discutir y dialogar sobre los mismos, insistiendo en la comparación de los datos obtenidos por estimación y los obtenidos por medidas directas.

Existen algunas estrategias que facilitan la estimación visualizar la unidad que se va a usar y repetirla mentalmente sobre el objeto que se va a medir, comparar la longitud que hay que medir con la de un objeto conocido, servirse de objetos iguales que aparecen en una longitud, hallar mitades, etc.

42. La estimación aplicada al cálculo está muy vinculada al cálculo mental y debe hacerse a partir del redondeo de cantidades como respuesta aproximada. Es conveniente que desde los primeros momentos se realicen actividades de suma de cantidades por redondeo (por ejemplo, "8+9" es "menos de 20", "24+23 es menos de 50" o "entre 40 y 50"), y que se verbalicen muchos de estos cálculos relacionando la medida práctica realizada y la cantidad que la expresa.

Se habituará al niño a estimar resultados en los problemas antes de calcularlos y a comprobar la congruencia de los resultados después de resueltos; se favorecerá la estimación a través de técnicas de aproximación numérica y cálculo mental.

43. Es necesario trabajar la estimación desde los primeros momentos de la escolaridad, de forma progresiva e insistente, a partir de situación es concretas vinculadas al cálculo y a la medida, desarrollando simultáneamente los dos aspectos de la estimación y estimulando a los niños a ejercitarla en longitudes, áreas, capacidades, masas y números.

Resolución de problemas

44. La resolución de problemas dentro del currículo de Matemáticas es un contenido prioritario, porque es un medio de aprendizaje y refuerzo de contenidos, da sentido aplicativo al área y permite la interrelación entre los distintos bloques y las restantes áreas.

45. La resolución activa de problemas es considerada como el método más conveniente de aprender Matemáticas; es la aplicación de las Matemáticas a diversas situaciones. Las situaciones-problema presentadas pueden ser más o menos complejas, pueden aparecer con datos completos o incompletos, pueden tener una solución o varias, estar presentados de forma gráfica o no, con datos numéricos o sin ellos. ..

Los problemas elegidos en la escuela deberán sacarse de situaciones que partan de la realidad de los alumnos, excluyendo enunciados que reproduzcan estereotipos sexistas (situaciones de la vida cotidiana del colegio, de la economía familiar, con juegos y juguetes, con deportes. . .), que provoquen su interés y que mantengan su atención, y de situaciones imaginadas que sean sugerentes y atractivas para el niño. Es interesante proponer problemas abiertos con dificultades crecientes, de manera que sea posible hacer conjeturas, buscar analogías y referirlos a situaciones más generales para que pueda encontrar respuesta a las nuevas situaciones-problema que se le plantean.

46. La dificultad que ha supuesto para los alumnos la resolución de problemas radica, en general, de unos planteamientos metodológicos inadecuados y especialmente de la falta de motivación.

En los planteamientos metodológicos se ha de tener en cuenta que el alumno debe desarrollar y perfeccionar sus propias estrategias, a la vez que adquiere otras generales y específicas que le permiten enfrentarse a las nuevas situaciones con probabilidad de éxito. En este sentido se brindará a los niños la oportunidad de familiarizarse con procesos que facilitan la exploración y resolución de problemas como: comprensión y expresión de la situación matemática (verbalización, dramatización, discusión en equipo), extracción de datos y análisis de los mismos, representación en forma gráfica del problema o situación, formulación de conjeturas y verificación de su validez o no, exploración mediante ensayo y error, formulaciones nuevas del problema, comprobación de resultados y comunicación de los mismos. Se hace necesario, asimismo, desarrollar la capacidad de persistir en la exploración de un problema.

47. La motivación se puede conseguir con problemas bien seleccionados por el maestro, con enunciados sencillos, tomados todos ellos en diferentes situaciones y contextos que faciliten la adquisición de los contenidos. No habrá que olvidar que tienen que estar formulados en términos familiares, y que habrá que buscar diversos apoyos manipulativos y gráficos. En cuanto a la formulación, el maestro deberá cuidar que pueda comprenderse fácilmente, no solamente el vocabulario matemático sino también las expresiones usuales, aparentemente sencillas, pero a veces difíciles de entender por el alumno.

Como conclusión, si al niño no se le permite abordar problemas de un nivel adecuado a sus conocimientos y su esfuerzo no se ve compensado por el éxito, sus capacidades de resolución de problemas no se desarrollan de forma satisfactoria.

Geometría

48. Parece importante señalar la Geometría como uno de estos puntos concretos de las Orientaciones Didácticas por la relevancia que tiene en la Educación Primaria y por el mal tratamiento y abandono al que ha estado relegada.

El estudio de la Geometría se ha dejado casi siempre para el final de los programas de todos los niveles y no se le ha dado la importancia que merece a pesar del interés que pueden despertar los temas geométricos, de la facilidad manipulativa a la que se prestan, del carácter lúdico que se les puede impregnar y de la interrelación de estos contenidos con otros matemáticos y de otras áreas. Los aprendizajes se han basado en un estudio memorístico de áreas, volúmenes, definiciones geométricas, y en construcciones de tipo mecanicista y completamente descontextualizadas.

49. El entorno del niño está lleno de formas geométricas: en su casa, en la escuela y en otros espacios en los que se mueve hay multitud de objetos con formas geométricas (paredes, puertas, ventanas, mesas, libros, lápices, etc.); sus juegos están relacionados con figuras y cuerpos geométricos (balones, tres en raya, parchís, ajedrez, etc.); y se mueve en el plano y en el espacio describiendo líneas.

Este entorno próximo y familiar para el niño, facilita el estudio de la Geometría desde el comienzo de la escolaridad, por la motivación e interés que puede despertar y por ser fuente inagotable de objetos susceptibles de observación y manipulación.

50. Los contenidos geométricos deberán tratarse desde el comienzo de la etapa a partir de la curiosidad que el niño tiene por descubrir los objetos que le rodean y las relaciones que existen entre ellos. El maestro deberá buscar situaciones reales o imaginarias que sean familiares para el niño. En el estudio de elementos del plano, polígonos y cuerpos geométricos, Ias actividades serán de reconocimiento en el espacio y manipulativas, como plegado, recorte y modelado, sin entrar en la formalización de los conocimientos o en fórmulas matemáticas (con excepción del área del rectángulo) .

51. Los contenidos geométricos interrelacionan los diferentes contenidos matemáticos y están en estrecha relación con las demás áreas de la Educación Primaria, especialmente con el Conocimiento del Medio'' y con el área de Educación Artística''. A través de las actividades propias de este apartado, el maestro podrá verificar el grado de adquisición de ciertos contenidos, no solamente geométricos, sino también de medida, de operativa, etc., así como de otras áreas del currículo.

El uso de la calculadora

52. El uso de las máquinas simples de cuatro operaciones amplia y modifica la lista de contenidos de Matemáticas en Educación Primaria. El empleo de la calculadora puede considerarse como un instrumento de cálculo que mejora la enseñanza actual de las Matemáticas y que abre nuevas posibilidades educativas (dominio funcional de medios tecnológicos).

Hasta ahora, ciertos padres y educadores han manifestado resistencia al uso de la calculadora por creer que su introducción hace descuidar ciertos contenidos básicos. Sin embargo, este temor no parece justificado: la introducción de las calculadoras contribuye a dar más importancia a la estimación del resultado. Para el maestro es un recurso didáctico de gran utilidad que le permite simplificar las tareas de cálculo, motivar a los alumnos, y además localizar el campo en el que puedan tener una carencia de conocimientos (instrumento de evaluación) y así proporcionarles la ayuda adicional adecuada. Además, para el niño la calculadora es un buen instrumento que le motiva a realizar tareas exploratorias y de investigación, a verificar los resultados y que le ayuda en la corrección de errores (instrumento de autoevaluación).

Sin embargo, es necesario determinar cómo debe introducirse este aprendizaje para un uso válido de la calculadora sin suscitar este tema de estudio de forma aislada. La finalidad es incorporar las calculadoras entre los aprendizajes matemáticos, de forma que los niños empleen razonablemente esta máquina cuando convenga hacerlo.