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Introducción

Se puede comenzar este apartado considerando los estudios realizados por Piaget y Fischbein.

Los estudios de Piaget ayudan a entender la evolución del razonamiento probabilístico de los niños, situándola dentro de sus estudios sobre las etapas generales de evolución psicológica de los niños.

Según Paget el desarrollo cognitivo del niño se realiza en varias etapas:

· Preoperacional (4 - 7 años)
· Operaciones concretas (7 - 11 años)
· Operaciones formales (12 años en adelante)

Las distintas etapas no cambian pero lo que si puede hacerlo son las edades en que cada niño alcanza cada una de ellas. Las alcanza cuando está preparado para ello, incluso antes o después de las edades indicas.

Fischbein concede gran importancia a la intuición como parte integrante de la conducta inteligente. Su trabajo ayuda a explorar los fundamentos intuitivos y precursores del conocimiento probabilístico.

Existen coincidencias y diferencias entre las teorías de ambos autores sobre las intuiciones probabilísticas de los niños.

Son las siguientes:

1) Periodo preoperacional

- Intuición del azar: ambos autores concluyen en que no existe una intuición del azar innata en el niño, por lo que dirigen sus investigaciones a determinar como se desarrolla esta intuición en la mente del niño. Para Piaget, esta comprensión presupone previa la posesión de un esquema lógico, combinatorio (que el niño debe construir). Para Fischbein, una cierta comprensión intuitiva del azar opera sin instrucción previa, estando presente en la conducta diaria de cada niño, de modo que si se le presentan ejemplos donde el número de posibilidades es pequeño, el niño razona correctamente.

- Intuición de frecuencia relativa: como conclusión se obtiene de que el niño adapta sus predicciones a las probabilidades de los sucesos que se le presentan como estímulo, aunque sus respuestas no llegan a coincidir totalmente con la frecuencia de los mismos. Esta conducta también se puede obtener sin que se estimule al niño cuando acierta, lo que demuestra que este fenómeno es una formación cognitiva mental.

- Estimación de posibilidades y la noción de probabilidad: Piaget e Inhelder consideran que el niño en esta etapa no es capaz de estimar las posibilidades a favor o en contra de los sucesos aleatorios, pero Fischbein piensa que el niño es capaz de hacer juicios probabilisticos en el sentido de que, cuando es posible un control experimental y operaciones auxiliares de comparación y cálculo simples, el niño puede partir de una estimación intuitiva de posibilidades a favor de algún suceso.

2) Periodo de operaciones concretas:

- Intuición de azar: a través de la adquisición de esquemas operaciones espacio-temporales y lógicos-matemáticos, el niño adquiere la capacidad de distinguir entre el azar y lo deducible, incluso a nivel conceptual; pero no se completa aún (solo se completa desde la representación que es una intuición primaria). El niño comienza a comprender la interacción de cadenas causales que conducen a sucesos predecibles, y la irreversibilidad de los fenómenos aleatorios.

- Intuición de la frecuencia relativa: esta intuición, a través de experimentos de aprendizaje probabilístico, mejora con la edad. Si la intuición se observa como un resultado cognitivamente fijado de experiencias acumulables, parece razonable que la intuición de esta frecuencia se desarrolle de un modo natural como resultado de las experiencias del niño con situaciones que implican sucesos aleatorios, en los cuales las respuestas deben expresar una estimación correcta de las frecuencias relativas de los fenómenos.

- Estimación de probabilidades y noción de probabilidad: de acuerdo con Piaget e Inhelder, niños de 9-10 años que no han recibido una instrucción específica muestran para el caso de comparación de probabilidades un porcentaje de respuestas acertadas mayor que en niños de preescolar.

- Operaciones combinatorias: los niños buscan modos de realizar inventarios de todas las permutaciones, variaciones y combinaciones posibles en un conjunto dado con un nº pequeño de elementos, y llegan a procedimientos rudimentarios de cálculo mediante ensayo y error; al final de este periodo (10-11 años), Fischbein ha demostrado que los niños con ayuda de instrucción, asimilan procedimientos enumerativos usados en la construcción de diagramas de árbol.

3) Período de Operaciones Formales:

- Intuición del azar: para Piaget y Inhelder, el adolescente agrupa las relaciones no determinadas de fenómenos aleatorios según esquemas operacionales. Una vez que se presenta una situación aleatoria, por medio del uso de estos esquemas se hace inteligible, y la síntesis entre el azar y lo operacional conduce al adolescente al concepto de probabilidad. Pero, para Fischbein, la síntesis entre el azar y lo deducible no se realiza espontáneamente y completamente al nivel de las operaciones formales; razona que esta deficiencia es que las tradiciones culturales y educativas de la sociedad moderna orientan el pensamiento hacia explicaciones deterministas unívocas, según las cuales los sucesos aleatorios caen fuera de los limites de lo racional y científico. Para él, la intuición del azar es irreconciliable con una estructura del pensamiento lógico, y es relegada a una clase inferior, como un método inadecuado de interpretación que no cumple los requisitos científicos.

- Intuición de frecuencia relativa: el niños en este periodo ha hecho progresos, particularmente en casos donde las predicciones tienen algún resultado practico.

- Estimación de posibilidades y noción de probabilidad: Piaget encuentra que, para experimentos con bolas, los niños de 12 años dan respuestas correctas desde el principio. Fischbein añade a esto el hecho de que incluso niños de 9-10 años pueden responder correctamente a estas situaciones si poseen instrucción adecuada.

- Operaciones combinatorias: ambos autores concluyen que el niño adquiere la capacidad de utilizar procedimientos sistemativos para realizar inventarios de todas las permutaciones posibles, variaciones y combinaciones de un conjunto dado de elementos. Pero Fischbein apunta a que pueden asimilar procedimientos combinatorios con la ayuda de la instrucción a partir de los 10 años.

Conclusión de Fischbein: la intuición probabilística no se desarrolla espontáneamente, excepto dentro de unos limites muy estrechos. La comprensión, interpretación, evaluación y predicción de fenómenos probabilisticos no pueden ser confiadas a intuiciones primarias que han sido despreciadas, olvidadas y abandonadas en un estado rudimentario de desarrollo bajo la presión de esquemas operacionales que no pueden articularse con ellas. Pero, que es necesario entrenar desde los primeros niveles la base intuitiva relevante al pensamiento probabilístico.

Conclusión de Piaget: sostiene que por debajo de la etapa de operaciones formales, los niños no pueden comprender la probabilidad, por lo tanto no pueden emitir juicios probabilisticos.

Cuantificación de la probabilidad, según Piaget e Inhelder

Para el caso de cuantificación de probabilidad, Piaget eInhelder (1951) realizaron una investigación. Presentaron a los niños dos colecciones de fichas blancas, con o sin cruz en su reverso; igualmente, se les proporcionaba la composición de cada una de las colecciones que eran distintas. La tarea consistía en decidir en cual de las dos colecciones sería más fácil obtener una cruz al tomar una de las fichas (previamente mezcladas

El resultado del estudio fue el siguiente:

a) En el primer estadio existe una ausencia de comparación lógico-aritmética que impide a los niños resolver el problema. Se divide en dos etapas:

· La noción de probabilidad no es accesible en la primera etapa puesto que se precisa incluir la parte en el todo, los casos favorables en el conjunto de casos posibles, compuestos disyuntivamente.
· En esta etapa, es más fácil diferenciar la parte y el todo, aunque dos problemas sean formalmente equivalentes. Y va adquiriendo la intuición de que el número de casos favorables se relaciona con la probabilidad de obtener uno de ellos. Por último, las soluciones se basan en apreciaciones intuitivas.

b) En el segundo estadio, se consigue hacer comparaciones con una sola variable. Se divide en otros dos subestadios:

· Este subestadio se caracteriza por el éxito en los problemas que implican la comparación de una sola variable y el fracaso sistemático en los casos de composición proporcional. Los problemas de una variable se pueden resolver mediante comparaciones aditivas, mientras, que las cuestiones de proporcionalidad suponen un doble cociente y por tanto las ideas de fracción y proporción, que el niño de esta etapa no ha adquirido.

· En el segundo subestadio se caracteriza por una solución empírica progresiva de las cuestiones de proporcionalidad.

c) En el tercer estadio, se da una solución general y rápida. Las nociones probabilísticas fundamentales no se construyen hasta este nivel, ya que las operaciones formales son, psicológicamente, operaciones de segunda orden, es decir operaciones construidas sobre operaciones y precisan un poder hipotético deductivo mayor que las operaciones concretas.

Evaluación de intuiciones probabilísticas por Fischbein y Gazot

Estos autores se interesan por la influencia que la enseñanza de la probabilidad tendría indirectamente en los juicios probabilísticos intuitivos.

Según estos autores, es posible desarrollar nuevas aptitudes intuitivas si el alumno se involucra de manera personal en una actividad práctica que le proporcione la experiencia necesaria.

Realizaron un estudio, el cual evaluaron a través de dos cuestionarios:

1. Diseñado para evaluar hasta que punto los alumnos sometidos al estudio, habían asimilado los conceptos enseñados y eran capaces de usarlos.
2. No requería conocimientos previos sobre probabilidad y estaba diseñado para valorar el efecto indirecto de la instrucción sobre los errores intuitivos.

Al final obtuvieron la conclusión de que el pensamiento probabilístico y el razonamiento proporcional se basan en dos esquemas mentales distintos, a pesar de compartir el mismo origen.

El estudio de evaluación de Green

El objetivo era investigar que conceptos o intuiciones aleatorias están dentro de la mente de los niños de edad comprendida entre 11 y 16 años.

Para ello se diseñó un test especial de conceptos probabilísticos que constaba de tres partes:

· Puntuación combinatoria.
· Puntuación verbal.
· Puntuación probabilística.

Investigaciones en el campo de la Educación Matemática

Falk, y Levin(1980) realizan una investigación con niños de 4 a 11 años, sobre comparación de probabilidades en contexto de bolas en urnas, ruletas y peonzas. Clasificaron las tareas de acuerdo al contexto y al tipo de fracciones presentadas en la comparación, según el siguiente esquema:

a) El número de casos favorables es menor, mayor o igual en el conjunto de mayor probabilidad.
b) El número de casos favorables es menor, mayor o igual en el conjunto de menor probabilidad.
c) Los dos conjuntos son equiprobables y el número de casos favorables es menor, mayor o igual en el primer conjunto presentado.

Ello da un total de nueve clases de problemas. Además dividieron los problemas en tres tipos, según las proporciones analizadas se refiriesen a los siguientes casos:

a) Una proporción es mayor y otra menor que 1/2.
b) Una proporción es 1/2 y la otra diferente.
c) Las dos proporciones son o mayores o menores que 1/2.

Sus resultados muestran que, a partir de los 6 años, los niños manifiestan un razonamiento de tipo probabilístico y el error dominante en los niños pequeños fue elegir el conjunto con mayor número de casos favorables. Los contextos resultaron equivalentes para el propósito de medir la capacidad de los niños para evaluar probabilidades.

Analizando el patrón de respuestas del mismo estudiante en los diferentes problemas, encontraron muy pocos casos de comportamiento sistemático respecto a un principio incorrecto dado. Los niños parecen no encontrarse en un "estadio puro" de desarrollo. Tampoco parecen seguir siempre la misma estrategia. También se encontraron niños que seguían prejuicios irrelevantes en la resolución del problema.

Los autores sugieren que la probabilidad se compone de dos subconceptos: azar y proporción. Se debe tener consciencia de la naturaleza incierta de la situación para aplicar los cálculos de proporciones. La capacidad de calcular proporciones, por sí sola, no implica necesariamente la comprensión de la probabilidad, ya que se precisa tener en cuenta la imposibilidad de controlar o predecir los resultados.