IMPORTANCIA DE LA GEOMETRÍA EN EL CURRICULUM
La necesidad de la enseñanza de la geometría en el ámbito escolar responde, en primer lugar, al papel que la geometría desempeña en la vida cotidiana.
Un conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana: para orientarse reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en el espacio...
La geometría está presente en múltiples ámbitos del sistema productivo de nuestras actuales sociedades (producción industrial, diseño, arquitectura, topografía, etc...).
La forma geométrica es también un componente esencial del arte, de las artes plásticas, y representa un aspecto importante en el estudio de los elementos de la naturaleza.
UN ACERCAMIENTO EXPERIMENTAL, INTUITIVO A LA GEOMETRÍA
La enseñanza de la Geometría ha tenido tradicionalmente un fuerte carácter deductivo. En educación secundaria, la Geometría se ha venido apoyando en el lenguaje del álgebra, en el álgebra vectorial. En primaria, aún sin ese carácter algebraico, formal, se ha fomentado excesivamente el aprendizaje memorístico de conceptos, teoremas y fórmulas; la simple apoyatura de unos conceptos en otros previos; y la temprana eliminación de la intuición como instrumento de acceso al conocimiento geométrico, tratando de acelerar la adquisición de tales conceptos, teoremas y fórmulas, como si en ellas estuviera condensado el verdadero saber geométrico.
Las investigaciones sobre el proceso de construcción del pensamiento geométrico parecen indicar, no obstante, que éste sigue una evolución muy lenta desde unas formas intuitivas iniciales de pensamiento, hasta las formas deductivas finales, y que éstas corresponden a niveles escolares bastante más avanzados que los que estamos considerando aquí. De manera que nosotros entendemos que en Educación Primaria hay que escapar de las interpretaciones deductivistas e ir a una geometría de carácter experimental, intuitiva.
El espacio del niño está lleno de elementos geométricos, con significado concreto para él: puertas, ventanas, mesas, pelotas, etc. En su entorno cotidiano, en su barrio, en su casa, en su colegio, en sus espacios de juego, aprende a organizar mentalmente el espacio que le rodea, a orientarse en el espacio.
Ese es el contexto que nos parece especialmente útil para desarrollar las enseñanzas geométricas, de una forma que resulte significativa para los alumnos. El estudio de su entorno próximo y familiar, por la motivación e interés que puede despertar y por ser fuente inagotable de objetos susceptibles de observación y manipulación.
A partir de situaciones que resulten familiares para los alumnos(recorridos habituales, formas de objetos conocidos...) y mediante actividades manipulativas, lúdicas (plegado, recorte, modelado, etc), el profesor puede fomentar el desarrollo de los conceptos geométricos contemplados en el curriculum de esta etapa educativa.
LOS CONCEPTOS GEOMÉTRICOS, ABSTRACTOS Y DE DIFÍCIL ADQUISICIÓN
Los objetos geométricos básicos (punto, línea y superficie, paralelismo, ángulo, etc), son nociones aparentemente muy elementales, pero que en realidad son muy complejas, por su elevado nivel de abstracción.
La noción de punto, por ejemplo, es una buena muestra de ese carácter esencialmente abstracto de los elementos geométricos. El punto, como ente geométrico sin dimensiones, carente de forma o con una forma muy regular (esférica), simple indicador de la posición en el espacio, no existe en la realidad material. En la realidad todo ente material tiene un tamaño y una forma: por muy pequeño que dibujemos el punto siempre podrá dividirse en partes más pequeñas; si considerabamos el punto esférico (o circular), esas partes que se obtienen al dividirlo dejan de tener esa forma esférica (o circular).
La rectitud tampoco existe en la realidad material. Cualquier línea material, contemplada con una lupa suficientemente potente, aparece llena de curvaturas.
La noción de paralelismo aparece para los alumnos como una noción difícil, por la infinitud de la línea recta. Los alumnos de estas edades no captan con facilidad el carácter infinito de la recta. En primer lugar por un problema de fijación mental derivada de sus propias percepciones. Y en segundo lugar por un problema de capacidad lógica, ya que el alumno se encuentra en estas edades en el período llamado por Piaget de "lógica concreta", en el que no cabe la consideración de entidades tan abstractas como la infinitud.
Esta misma dificultad es la que aparece al considerar los ángulos. No les resulta fácil comprender la independencia del ángulo respecto a la longitud de sus lados, en primer lugar por cuestiones de tipo perceptivo, y en segundo lugar por ese problema conceptual de la infinitud de la recta que se está señalando.
En realidad, estos ejemplos vienen a indicar la dificultad de enseñanza de la geometría en Primaria, por la contradicción existente entre el fuerte carácter abstracto de esta materia (que como toda disciplina matemática aparece como un sistema conceptual abstracto, formal, independiente de la realidad física) y la necesidad de aproximarla de una forma intuitiva, experimental a los alumnos, lo que obliga a una simplificación de sus elementos conceptuales.
LA EDUCACIÓN GEOMÉTRICA EN LOS PRIMEROS NIVELES. ORIENTACIÓN EN EL ESPACIO. JUEGO PSICOMOTRIZ
La orientación espacial, fruto de una paulatina organización mental del espacio exterior, es un objetivo central de la educación geométrica en los primeros niveles educativos. El espacio aparece para los niños pequeños como algo desestructurado, carente de una organización objetiva. Es un espacio subjetivo, ligado a sus vivencias afectivas, a sus acciones. Un espacio en el que los objetos carecen de una forma y un tamaño precisos, en función de la perspectiva con que se les contempla.
La organización lógica del espacio exterior, el desarrollo de una lógica geométrica, es básica para el adecuado desarrollo de la lógica general del individuo. Las capacidades lógicas que los niños conquistan en estas edades, como las de clasificar, ordenar, efectuar correspondencias, etc., a partir de las cuales construirán el edificio numérico y matemático posterior, se consiguen partiendo de una base lógica previa, que es geométrica en gran medida. Las clasificaciones, ordenaciones, etc., se hacen inicialmente de acuerdo con criterios muy simples, de carácter sensomotor, relativos, entre otros, a la forma , al tamaño, la distancia...
A partir del conocimiento del propio cuerpo y del adecuado desarrollo de la lateralidad, es importante en este primer ciclo progresar en la capacidad de establecer puntos de referencia en el entorno que permitan al alumnado situarse y desplazarse por él, así como dar y recibir instrucciones de forma convencional partiendo siempre de un punto de vista propio (izquierda-derecha, giro, distancias, desplazamientos, etc.).
La percepción de un mismo objeto o lugar desde distintos puntos de vista, el recorrido periódico de las mismas distancias, los juegos de construcciones, etc., le van proporcionando unos datos necesarios para el conocimiento del espacio y de las relaciones entre los cuerpos que hay en él. Así se van formando las primeras nociones topológicas: junto- separado, abierto-cerrado, recto- curvo..., que constituyen la base sobre la que se asienta la progresiva estructuración del espacio y la orientación de las acciones y los objetos dentro del mismo. Las nociones de inclusión (abierto-cerrado, dentro-fuera, etc) constituyen la base para la construcción de las ideas de figura y cuerpo geométrico. Las nociones de proximidad (cerca-lejos, junto-separado, etc) constituyen la base para la construcción de las ideas de longitud y distancia.
A partir de aquí, aprende a distinguir formas, a calcular objetivamente distancias y longitudes y a determinar las posiciones de los cuerpos en el espacio. Hay que tener en cuenta que el niño, hasta los 12 años aproximadamente, no es capaz de generalizar, y que el conocimiento que obtenga de formas, magnitudes y posiciones no le lleva a deducir cualidades o leyes generales.
El pasar de enfoque subjetivo, centrado en uno mismo, al establecimiento de relaciones independientes entre los objetos que ocupan el espacio, constituye uno de los mayores obstáculos en todo el proceso de estructuración espacial, hasta el punto de que es frecuente que para orientarse el sujeto tenga que imaginarse, o incluso colocarse, en la posición requerida, porque sin su cuerpo como referencia es incapaz de coseguirlo. Esto sucede en la realización de itinerarios, interpretación de un plano o diseño del mismo, etc.
El juego psicomotor,centrado en la exploración del espacio a partir del propio cuerpo, de una forma lúdica y activa, representa una metodología de enseñanza apropiada para este objetivo de organización espacial. La introducción de cualquier tema matemático nuevo se puede iniciar mediante una sesión de psicomotricidad. Esta suele tener una fase inicial de juego estrictamente sensomotor, de movimiento libre por el espacio, inducido por una música apropiada, en la cual el material básico es el propio cuerpo.
Es una fase en la que se va tomando contacto con el espacio exterior, con los objetos, con las personas que lo conforman, de una forma espontánea y creativa; una fase que da lugar a situaciones de juego colectivo.
Posteriormente conviene introducir materiales didácticos que ayudan al establecimiento de relaciones espaciales específicas, de acuerdo con el tema geométrico elegido como objetivo del aprendizaje y que pueden inducir la reflexión sobre aspectos determinados de dicho tema. Finalmente, una propuesta adecuada de actividades complementarias, de problemas suscitados a partir del uso de esos materiales, puede cerrar el desarrollo del tema.
El juego psicomotor pueden implicar conceptos de cierta potencia geométrica. Así, por ejemplo, juegos de recorrido manteniendo la igualdad de distancias a dos puntos fijos pueden inducir la noción de mediatriz. Jugando con la igualdad de distancias a dos rectas secantes, la de bisectriz. Con la igualdad de distancias a una línea recta, el paralelismo. Con la igualdad de distancia a un punto y una recta, la parábola... De forma que no tiene que ser contemplado como apropiado sólo para niños muy pequeños.
El material didáctico desempeña un papel primordial en esta
metodología de enseñanza. Hay que diferenciar entre el material
pensado para ser usado en las sesiones de psicomotricidad, en una sala espaciosa,
amplia, y el material pensado para ser utilizado en el aula normal de clase,
sobre los pupitres.
Respecto al primer tipo de material podemos destacar en primer lugar materiales
típicos de psicomotricidad, como cuerdas, aros, pelotas, papel, etc.,
que además de su valor específico para el juego psicomotriz
tienen también interés para el desarrollo de conceptos geométricos.
Por ejemplo, las cuerdas pueden ser utilizadas para la construcción
de líneas, caminos, redes, etc.; los aros para la formación
de circunferencias, cilindros, conos, para juegos de giros, etc.; las pelotas
para materializar esferas, para juegos de giros, para juegos trayectorias,
etc.; el papel para formar diferentes formas superficiales, para formar las
caras de los poliedros construidos con otros materiales, etc. En realidad,
muy diferentes materiales de uso habitualmente no matemático puede
ser usado en contextos matemáticos, a poco que se fuerce la imaginación.
Un material estructurado, especialmente diseñado para estos fines, es el de los polígonos y poliedros articulados. Se trata de varillas de madera, de longitudes diferentes (variando de decímetro en decímetro, desde uno hasta diez, hasta completar el metro), que pueden ser unidas por articulaciones flexibles o rígidas. Las articulación flexible se pueden conseguir al mantener juntos, con un nudo de alambre, pequeños trozos de tubos de goma, en cuyas bocas conectan varillas de madera, con lo que se obtiene en vértice de una estructura poliédrica.
Como materiales complementarios de mesa, para utilizar en el aula, se pueden introducir por un lado materiales de uso corriente (en principio no matemático), y por otro materiales especialmente diseñados para la enseñanza de la geometría. Dentro del primer tipo podríamos citar palillos, varillas de madera, cuerdas, alambres, pajitas de refrescos, plastilina, corcho, etc, con los cuales se pueden construir, también, estructuras poligonales y poliédricas. Como materiales de uso específicamente geométrico destacamos básicamente el geoplano y los poliedros troquelados. El geoplano permite formar, con gomillas pequeñas, figuras equivalentes a las que resultan en el juego psicomotor con las cintas elásticas, y dar una continuidad, ya en el plano de la reflexión teórica, a las actividades de carácter lúdico.Los poliedros troquelado, combinaciones libres de polígonos (materializados en cartulina), mediante uniones muy simples, para formar poliedros, permiten dar una réplica sencilla, en el aula, en el terreno de la reflexión teórica, a la fase lúdica inicial de construcción de poliedros "gigantes".
REPRESENTACIONES GEOMÉTRICAS. PLANOS. MAPAS.
La organización mental del espacio exterior aconseja, llegado su momento, la introducción de sistemas de representación gráfica y plástica de dicho espacio.
Desde un primer momento es importante introducir el dibujo como una forma de interiorización de la actividad geométrica. Por ello, cualquier situación de juego psicomotriz y de manipulación de material didáctico, debe concluir con la expresión gráfica de la situación mediante un dibujo. Es importante la representación con diferentes perspectivas, que ayude a una visión más objetiva de la realidad exterior.
Un sistema de representación de gran utilidad formativa son los planos. Los planos intentan representar con la máxima precisión los objetos del espacio exterior. Pueden dar lugar a situaciones lúdicas, como juegos de escondite y búsqueda de objetos en un espacio amplio (como el salón de clase, el patio del recreo, el jardín, etc). En esos juegos pueden plantearse actividades tales como:
- Comparar el plano con la realidad.
- Situar distintos elementos.
- Reproducir un recorrido real sobre el plano y viceversa.
- Buscar recorridos equivalentes entre dos puntos determinados.
- Buscar el recorrido más corto entre dos puntos.
- Definir las pistas para ir de un lugar a otro.
Los planos pueden enriquecerse con la introducción de coordenadas, lo que hace más sofisticado y preciso el sistema de representación.
Las coordenadas pueden introducirse con juegos como el de los "barquitos" (figuras a las que hay que hundir mediante disparos de los que se indican sus coordenadas).
Posteriormente puede ampliarse el estudio de los planos, considerando planos callejeros, donde se pueden realizar actividades tales como:
- Situarse y orientarse sobre el plano empezando por las zonas conocidas, ya sea el barrio de la escuela o de la propia vivienda.
- Buscar y situar sobre el plano tiendas conocidas, viviendas de los compañeros, farmacia, cine, etc.
- Representar itinerarios equivalentes para ir de casa al cine, de la escuela al parque, etc.
- Realizar un recorrido indicado sobre el plano o viceversa; explicar sobre el plano un recorrido realizado.
Puede ampliarse el estudio con la introducción de mapas, con actividades tales como:
- Saber situarse sobre el plano.
- Buscar poblaciones, ríos, montañas, etc.
- Reconocer las vías principales de las secundarias, autopistas, vías férreas,etc.
- Buscar itinerarios entre dos poblaciones o dos puntos.
- Buscar itinerarios alternativos: por autopista, carretera nacional,provincial, caminos, etc.
- Buscar el itinerario más corto en kilómetros o en tiempo.
- Dada una población, buscar posibles excursiones a un radio determinado de kilómetros.
- Orientarse sobre el terreno con la ayuda del mapa y de la brújula.
- Considerar la escala en los mapas.
- Comparar mapas con distintas escalas.
CONOCIMIENTO DE FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS
Se puede comenzar por la localización de figuras geométricas en el entorno real, su observación y detección de los elementos que las conforman.
Para el conocimiento de los cuerpos geométricos tridimensionales un material didáctico muy adecuado son los poliedros artículados y poliedros troquelados, anteriormente descritos.
Los alumnos pueden establecer ordenaciones y clasificaciones, según criterios sencillos, aprendiendo los términos que designan las figuras, elementos y relaciones geométricas más comunes: vértices, caras, aristas, polígonos, circunferencia, cubo, esfera... Se trata de que los incorporen a su vocabulario, utilizándolos con propiedad en las descripciones de objetos y situaciones.
En el último ciclo se deben iniciar los conocimientos sobre las relaciones
de igualdad, perpendicularidad y simetría, ángulos, etc. Así
mismo aplicar las nociones de medida, de longitud y superficie, aproximándose
de manera intuitiva al cálculo de áreas y volúmenes de
figuras y cuerpos geométricos sencillos.
Para el conocimiento de figuras bidimensionales, un material didáctico especialmente valioso es el geoplano. Actividades potenciales con el geoplano son:
- Construir distintos tipos de polígonos y analizar sus características
para la posterior clasificación, atendiendo a distintos criterios:
número de lados, igualdad o no de los mismos, tipo de ángulos,
concavidad, convexidad.
- Descomponer polígonos.
- Triangular polígonos.
- Transformar polígonos sobre el geoplano: traslaciones, giros, simetrías.
- Calcular el área y el perímetro de los polígonos.
También se puede utilizar el tangram. Como actividades:
- Componer polígonos con todas las piezas del tangram o con parte
de ellas.
- Analizar los polígonos obtenidos de acuerdo con sus características.
- Clasificar polígonos.
No se debe excluir el uso de materiales tradicionales, como reglas y compas, para realizar diversas construcciones geométricas. Aunque tales construcciones se pueden realizar también con ordenador, con programas tales como Cabri.
Para estudiar las simetrías de las figuras se puede utilizar el plegado de papel (papiroflexia). Con este material se puede:
- Construir un ángulo recto, rectas perpendiculares y paralelas.
- Construir distintos tipos de polígonos: cuadrado, rectángulo;
triángulo equilátero, isósceles, rectángulo...;
hexágono regular, octágono regular...
- Buscar la mediatriz de un segmento.
- Buscar la bisectriz de un ángulo.
La simetría de las figuras se puede estudiar también con ayuda de espejos. Actividades concretas con espejos pueden ser:
- Situar una figura plana frente a un espejo y analizar los resultados.
- Situar una figura plana a cierta distancia de un espejo en distintas posiciones
y analizar los resultados.
- Colocar un espejo sobre los distintos polígonos y buscar sus ejes
de simetría. Relacionar la existencia de los ejes de simetría
con la regularidad de los polígonos.
- Componer dibujos simétricos a partir de un polígono y un espejo.
- Situar segmentos o líneas frente a dos espejos en ángulo y
estudiar las figuras que se generan. Relacionar los cambios de las figuras
obtenidas en función de los cambios en la posición de los dos
espejos.
- Situar figuras planas frente a dos espejos en ángulo y estudiar las
figuras que se generan.
- Comprobar la simetría de un dibujo a partir de una figura plana y
dos espejos.
- Analizar las variaciones de imagen de una figura plana en función
de la distancia que guarde en relación a los dos espejos.
Con la fotocopiadora, se puede estudiar las relaciones de semejanza entre figuras. En particular:
- Realizar ampliaciones y reducciones de segmentos. Medir los segmentos antes
y después de las transformaciones y establecer la relación con
las ampliaciones y reducciones efectuadas.
- A partir de dibujos de polígonos regulares realizar ampliaciones
y reducciones. Establecer comparaciones entre las medidas de lados y ángulos
antes y después de las transformaciones.
- Ampliar dibujos realizados a mano sobre cuadrículas u otras tramas.
MOSAICOS
Representan un excelente modo de conectar geometría y arte.
Se puede plantear experimentalmente la construcción de mosaicos combinando polígonos regulares y tratar de que los estudiantes razonen por qué hay un número fijo de modelos, analizando los ángulos coincidentes en los vértices de los mosaicos.
Se puede estudiar la simetría de los mosaicos, con ayuda de espejos.
GEOMETRÍA E INTERNET
Consecuentes con nuestra propuesta de utilizar la red de Internet para la
enseñanza de la geometría, invitamos a desarrollar los apartados
anteriores con ayuda del ordenador.
Para la enseñanza de la geometría en los primeros niveles de
Primaria, que apoyamos en el juego psicomotriz, planteamos la posibilidad
de usar un recurso clásico, como es el programa LOGO, la geometría
de la tortuga. Se puede encontrar información en
http://www.ecu.edu.au/pa/ecawa/sig/logo/paul_dench/turtle/turtle-6.html#para2
Nosotros hemos diseñado nuestra propia versión virtual de introducción
a este programa informático, que se puede encontrar en nuestras páginas
web, en el apartado del Menú Principal dedicado a "Actividades
para los Alumnos".
Para las actividades de representación espacial, pueden utilizarse
programas de dibujo del ordenador para tratar de representar mediante planos
espacios como el salón de clase, el patio del recreo, el jardín,
etc, promoviendo la confrontación de dibujos de diferentes alumnos
para obligarles a comparar y evaluar los sistemas de representación
empleados. Posteriormente se pueden ampliar dichas actividades considerando
planos callejeros de la ciudad, existentes en Internet, para representar y
analizar itinerarios familiares a los alumnos y avanzar hacia la exploración
de otros nuevos.
El conocimiento de figuras geométricas puede hacerse mediante la utilización
del geoplano
http://www.matti.usu.edu/nlvm/enu/navd/frames_asid_125_g_4_t_3.html
Los alumnos pueden hacer clasificaciones de las figuras obtenidas, de acuerdo
con la cantidad de vértices, caras, aristas, diagonales, ángulos,
etc, que intervienen y considerando relaciones de igualdad, perpendicularidad,
simetría, etc.
Nosotros hemos diseñado nuestra propia versión virtual de introducción
al geoplano, que se puede encontrar en nuestras páginas web, en el
apartado del Menú Principal dedicado a "Actividades para los Alumnos".
El estudio de las figuras puede hacerse también con ayuda del tangram.
Se puede encontrar una versión virtual en sitios como
http://www.rompecocos.com/Rompecocos/juegos/tangram/tangram.htm
http://www.redestudiantilpr.net/tangram1.htm
Nosotros hemos diseñado nuestra propia versión de tangram virtual,
que se puede encontrar en nuestras páginas web, en el apartado del
Menú Principal dedicado a "Actividades para los Alumnos".
Las propiedades métricas de la figura puede estudiarse específicamente
usando programas como Cabri, del cual existen versiones para Internet
http://www.cabri.net/cabrijava/index-f.html
Las relaciones angulares pueden analizarse con ayuda del geoplano circular
http://www.matti.usu.edu/nlvm/enu/navd/frames_asid_127_g_4_t_3.html
Los ángulos de los polígonos regulares se estudian en
http://www.coolmath.com/interior.htm
Está última dirección sirve para estudiar los mosaicos,
que amplia la visión de las relaciones angulares en los polígonos.
Se pueden consultar en
http://www.shodor.org/interactivate/activities/tessellate/index.html
http://www.matti.usu.edu/nlvm/enu/navd/frames_asid_163_g_4_t_3.htm
Nosotros hemos diseñado nuestra propia versión virtual de juego
de mosaicos, que se puede encontrar en nuestras páginas web, en el
apartado del Menú Principal dedicado a "Actividades para los Alumnos".
Las coordenadas cartesianas pueden introducirse de la mano del geoplano de
coordenadas
http://www.matti.usu.edu/nlvm/enu/navd/frames_asid_166_g_1_t_3.html
Para el estudio de los poliedros pueden consultarse variadas direcciones
http://vitalsoft.org.org.mx/Prometeo/ejemplos/regpoly.html
http://www.matti.usu.edu/nlvm/enu/navd/frames_asid_128_g_4_t_3.html
http://www.pntic.mec.es/mem2000/superficies/PoliReg.html
http://www.coolmath.com/polyhedra.htm