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INTRODUCCIÓN

Aunque las matemáticas han ocupado siempre un lugar importante en las propuestas curriculares de todos los niveles de la Educación Obligatoria y su importancia nunca ha sido cuestionada, existen diferentes alternativas sobre el enfoque que se les debe dar y sobre el papel que juegan en el desarrollo global de los alumnos. La alternativa elegida al respecto en este Diseño Curricular Base reposa sobre una serie de consideraciones que giran básicamente en tomo a los dos puntos siguientes: el proceso de construcción del conocimiento matemático y las aportaciones de las matemáticas en el marco definido por la Educación Obligatoria.

La perspectiva histórica muestra claramente que las matemáticas son un conjunto de conocimientos en evolución continua y que en dicha evolución desempeña a menudo un papel de primer orden su interrelación con otros conocimientos y la necesidad de resolver determinados problemas prácticos. Así, por ejemplo, muchos aspectos de la geometría responden en sus orígenes históricos, a la necesidad de resolver problemas de agricultura y problemas arquitectónicos. La estadística tiene su origen en la elaboración de los primeros censos demográficos. Los diferentes sistemas de numeración evolucionan paralelamente a la necesidad de buscar notaciones que permitan agilizar los cálculos elementales. La teoría de la probabilidad se desarrolla para resolver algunos de los problemas que plantean los juegos de azar. Los grandes matemáticos de los siglos XVII y XVIII desarrollan el cálculo diferencial e integral en sus trabajos sobre problemas físicos. Para poner un ejemplo más cercano, Ias investigaciones en matemática discreta y en cálculo numérico experimentan en nuestros días un auge considerable como consecuencia del uso cada vez más extendido de nuevas tecnologías. Aún más, en cierta medida las matemáticas constituyen el armazón sobre el que se construyen los modelos científicos, toman parte en el propio proceso de modelización de la realidad, y en muchas ocasiones han servido como medio de validación de estos modelos. Sin embargo, la evolución de las matemáticas no sólo se ha producido por acumulación de conocimientos o de campos de aplicación. Los propios conceptos matemáticos han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo, ampliándolo precisándolo o revisándolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario, siendo relegados a segundo plano.

Esta consideración epistemológica tiene importantes repercusiones desde el punto de vista curricular. En efecto, seria cuanto menos contradictorio con el camino seguido en su propia génesis histórica, al igual que con el estado actual del conocimiento, presentar las matemáticas a los alumnos bajo un aspecto monolítico, cerrado y alejado de la realidad. En lo que concierne más concretamente a este último punto, debe tenerse en cuenta, por una parte, que determinados conocimientos matemáticos permiten modelizar y resolver problemas de otros campos y por otra, que a menudo estos problemas no estrictamente matemáticos en su origen proporcionan la base intuitiva sobre la que se elaboran nuevos conocimientos matemáticos.

Desde el punto de vista de la enseñanza de las matemáticas, las reflexiones anteriores deben tamizarse a través del concepto de realidad que poseen los alumnos. No son los mismos problemas los que necesita resolver un matemático, un adulto, un adolescente y un niño. La realidad de los alumnos incluye su propia percepción del entorno físico y social y componentes imaginadas y lúdicas que despiertan su interés en mayor medida que las situaciones reales desde el punto de vista adulto. En consecuencia, Ia activación del conocimiento matemático mediante la resolución de problemas reales no se consigue trasvasando de forma mecánica situaciones que pueden ser muy pertinentes y significativas para el adulto, pero que pueden fácilmente no tener estas características para los alumnos.

Otra consideración importante se deriva del uso, en el proceso histórico de construcción de las matemáticas del razonamiento empírico-inductivo en grado no menor que el razonamiento deductivo, desempeñando incluso a menudo un papel mucho más activo en la elaboración de nuevos conceptos que este último. Esta afirmación vale no sólo desde el punto de vista histórico, sino que describe cómo proceden los matemáticos en su trabajo. Los tanteos previos los ejemplos y contraejemplos, Ia solución de un caso particular, Ia posibilidad de modificar las condiciones iniciales y ver qué sucede, etc., son las auténticas pistas para elaborar proposiciones y teorías. Esta fase intuitiva es la que convence íntimamente al matemático de que el proceso de construcción del conocimiento va por buen camino. La deducción formal suele aparecer casi siempre en una fase posterior. Esta constatación se opone frontalmente a la tendencia, fácilmente observable en algunas propuestas curriculares, a relegar los procedimientos intuitivos a un segundo plano, tendencia que priva a los alumnos del más poderoso instrumento de exploración y construcción del conocimiento matemático.

Las matemáticas, como el resto de las disciplinas científicas, aglutinan un conjunto de conocimientos con unas características propias y una determinada estructura y organización internas. Lo que confiere un carácter distintivo al conocimiento matemático es su enorme poder como instrumento de comunicación conciso y sin ambigüedades. Gracias a la amplia utilización de diferentes sistemas de notación simbólica (números, letras, tablas, gráficos, etc,), Ias matemáticas son útiles para representar de forma precisa informaciones de naturaleza muy diversa, poniendo de relieve algunos aspectos y relaciones no directamente observables y permitiendo anticipar y predecir hechos situaciones o resultados que todavía no se han producido.

Seria sin embargo erróneo o al menos superficial suponer que esta capacidad del conocimiento matemático para representar, explicar y predecir hechos, situaciones y resultados es simplemente una consecuencia de la utilización de notaciones simbólicas precisas e inequívocas en cuanto a las informaciones que permiten representar. En realidad, si las notaciones simbólicas pueden llegar a desempeñar efectivamente este papeles debido a la propia naturaleza del conocimiento matemático que está en su base y al que sirven de soporte.

Desde una perspectiva pedagógica -y también epistemológica, como se deduce de las anotaciones previas-, es importante diferenciar el proceso de construcción del conocimiento matemático de las características de dicho conocimiento en un estado avanzado de elaboración. La formalización, Ia precisión y la ausencia de ambigüedad del conocimiento matemático no es el punto de partida, sino más bien el punto de llegada de un largo proceso de aproximación a la realidad, de construcción de instrumentos intelectuales eficaces para conocerla, analizarla y transformarla.

Ciertamente, como ciencia constituida, las matemáticas se caracterizan por su precisión, por su carácter formal y abstracto, por su naturaleza deductiva y por su organización a menudo axiomática. Sin embargo, tanto en la génesis histórica como en su apropiación individual por los alumnos, la construcción del conocimiento matemático es inseparable de la actividad concreta sobre los objetos, de la intuición y de las aproximaciones inductivas impuestas por la realización de tareas y la resolución de problemas particulares. La experiencia y comprensión de las nociones, propiedades y relaciones matemáticas a partir de la actividad reales, al mismo tiempo, un paso previo a la formalización y una condición necesaria para interpretar y utilizar correctamente todas las posibilidades que encierra dicha formalización.

El conocimiento lógico-matemático hunde sus raíces en la capacidad del ser humano para establecer relaciones entre los objetos o situación es a partir de la actividad que ejerce sobre los mismos y, muy especialmente, en su capacidad para abstraer y tomar en consideración dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes. Por ejemplo, en la referencia a dos objetos A y B como "A es más grande que B" -o aún "B es más pequeño que A' 'A mide tres centímetros más que B", "B mide tres centímetros menos que A, etc.- el conocimiento no se refiere a una propiedad de los objetos A y B en sí mismos, sino a la relación existente entre una propiedad -el tamaño- que comparten ambos objetos y que es el resultado de la actividad de compararlos precisamente en lo que concierne a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma, masa, densidad volumen, etc.). Las relaciones más grande que , más pequeño que, tres centímetros más que , tres centímetros menos que, etc. son pues verdaderas construcciones mentales y no una simple lectura de las propiedades de los objetos. Incluso la referencia a los objetos A y B como grande y pequeño supone una actividad de comparación con elementos más difusos, como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior.

Este sencillo ejemplo muestra hasta qué punto el conocimiento matemático implica la construcción de relaciones elaboradas en y a partir de la actividad sobre los objetos. Desde la perspectiva de su elaboración y adquisición, las matemáticas son pues más constructivas que deductivas. Desligado de la actividad constructiva que está en su origen, el conocimiento matemático corre el peligro de caer en puro formalismo y de perder toda su potencialidad como instrumento de representación, explicación y predicción.

La naturaleza del conocimiento matemático, su carácter constructivo y su vinculación con la capacidad de abstraer relaciones a partir de la propia actividad y de reflexionar sobre ellas obliga a tener especialmente en cuenta, en la planificación de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, el nivel de competencia cognitiva de los alumnos. En efecto, existe un estrecho vínculo entre las relaciones que los niños pueden establecer y manejar en un momento determinado y su nivel de desarrollo intelectual. Así, por ejemplo, Ios estudios realizados durante las últimas décadas sobre el desarrollo cognitivo no dejan lugar a dudas respecto a las dificultades que plantea la comprensión de determinadas propiedades y relaciones -físicas, numéricas, espaciales, temporales, etc. - hasta edades muy tardías que coinciden, en ocasiones, con los últimos tramos de la Educación Obligatoria. Del mismo modo, es un hecho ampliamente conocido que el grado de abstracción que impone en ocasiones el pensamiento matemático -razonamiento sobre lo posible, inferencias a partir de relaciones de implicación entre enunciados simbólicos con independencia de lo que representan concretamente, formulación sistemática de hipótesis, etc.- está fuera del alcance de la mayoría de los alumnos durante la Educación Primaria e incluso durante gran parte de la Educación Secundaria Obligatoria.

La insistencia sobre la actividad constructiva no supone en ningún caso ignorar que, como cualquier otra disciplina científica, Ias matemáticas tienen una estructura interna que relaciona y organiza sus diferentes partes. Más aún, en el caso de las matemáticas esta estructura es especialmente rica y significativa. Hay una componente vertical en esta estructura, la que fundamenta unos conceptos en otros, que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje y que obliga, en ocasiones, a trabajar algunos aspectos con la única finalidad de poder integrar otros que son los que se consideran verdaderamente importantes desde un punto de vista educativo. Sin embargo, interesa destacar una vez más que casi nunca existe un camino único, ni tan siquiera uno claramente mejor, y si lo hay tiene una fundamentación más de tipo pedagógico que epistemológico. El trasvase automático de cadenas de conocimientos válidas desde una determinada concepción de la estructura interna de las matemáticas puede llegar incluso a ser funesta para el aprendizaje de las mismas, como ha puesto claramente de relieve el intento de fundamentar toda la matemática escolar en la teoría de conjuntos.

En el mismo orden de cosas, conviene señalar una segunda característica del edificio matemático que tiene importantes implicaciones curriculares: se trata de la relación existente entre sus diferentes partes en cuanto a la utilización de estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con propósitos diferentes. Así, por ejemplo, numerar, contar, ordenar, clasificar, simbolizar, inferir, etc. son herramientas igualmente útiles en geometría y en estadística. Para que los alumnos puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde ópticas distintas, es necesario dedicarles una atención especial seleccionando cuidadosamente los contenidos de la enseñanza.

Una tercera característica de las matemáticas, que ha ido haciéndose cada vez más patente a lo largo de su desarrollo histórico, y que posee igualmente implicaciones curriculares de primer orden, es la dualidad desde la que permite contemplar la realidad. Si bien algunos aspectos de esta dualidad aparecen ya en las primeras experiencias matemáticas de los alumnos y otros lo hacen más tarde, es frecuente que las propuestas curriculares potencien exclusivamente una cara de la moneda: la que se ajusta mejor a la imagen tradicional de las matemáticas como ciencia exacta. Así, por ejemplo, se prefiere la matemática de la certeza ("sí" o "no", "verdadero" o "falso") a la de la probabilidad ("es posible que. . . ", "con un nivel de significación de. . . "); la de la exactitud ("la diagonal mide v2", "el área de un círculo es pr2",...) a la de la estimación ("me equivoco con mucho en una décima", "la proporción áurea es aproximadamente 5/3", ...). Las matemáticas escolares deben potenciar estos dobles enfoques, y ello no sólo por la riqueza intrínseca que encierran, sino porque los que han sido relegados hasta ahora a un segundo plano tienen una especial incidencia en las aplicaciones actuales de las matemáticas.

La naturaleza del conocimiento matemático obliga, como se ha señalado anteriormente, a tener muy en cuenta las competencias cognitivas de los alumnos en el momento de planificar su enseñanza y su aprendizaje. Esta vinculación se suele interpretar en el sentido de que la capacidad de los alumnos para aprender determinados contenidos matemáticos está limitada por su nivel de desarrollo cognitivo y por su competencia intelectual general. Sin embargo, la vinculación puede interpretarse también de otra manera: el aprendizaje de las matemáticas es un medio excepción al para desarrollar las capacidades cognitivas que pueden transferirse con mayor facilidad a otros dominios de aprendizaje, por lo que su inclusión en el currículo es esencial para la formación intelectual de los alumnos.

De hecho, la finalidad formativa del aprendizaje de las matemáticas ha sido el argumento tradicionalmente utilizado para justificar su inclusión en el currículo de la Educación Obligatoria. Aunque en la actualidad el peso de este argumento ha disminuido considerablemente -entre otras razones, porque se ha tomado conciencia de que su mayor o menor incidencia sobre la formación intelectual de los alumnos, al igual que sucede con los contenidos de las otras áreas curriculares, depende sobre todo de la manera como se enseñan y se aprenden-, sigue pareciendo razonable suponer que determinadas formas de actividad matemática (por ejemplo, seleccionar y aplicar algoritmos, elaborar estrategias de resolución de problemas, realizar inferencias, explorar e identificar relaciones entre objetos, situaciones o sucesos, buscar semejanzas y diferencias, etc.) favorecen el desarrollo y la adquisición de capacidades cognitivas muy generales contempladas en los Objetivos Generales de la Educación Obligatoria.

Pero la actividad matemática no sólo contribuye a la formación de los alumnos en el ámbito del pensamiento lógico-matemático, sino en otros aspectos muy diversos de la actividad intelectual como la creatividad, la intuición, la capacidad de análisis y de crítica, etc. También puede ayudar al desarrollo de hábitos y actitudes positivas frente al trabajo, favoreciendo la concentración ante las tareas, la tenacidad en la búsqueda de soluciones a un problema y la flexibilidad necesaria para poder cambiar de punto de vista en el enfoque de una situación. Asimismo, y en otro orden de cosas, una relación de familiaridad y gusto hacia las matemáticas puede contribuir de forma importante al desarrollo de la autoestima, en la medida en que el alumno llegará a considerarse capaz de enfrentarse de modo autónomo a numerosos y variados problemas.

Junto a la finalidad formativa, las matemáticas escolares tienen una clara finalidad utilitaria o pragmática. No debe olvidarse, por ejemplo, que el conocimiento matemático es una herramienta auxiliar indispensable para el estudio de los contenidos de otras áreas curriculares de la educación obligatoria; o que buena parte de las opciones de formación que se ofertan a los alumnos en la Educación Post-obligatoria requieren, en mayor o menor grado, un conocimiento matemático de partida.

Pero la finalidad utilitaria de las matemáticas escolares tiene además, en el marco de la Educación Obligatoria, un referente claro: las necesidades matemáticas en la vida adulta. Así, en la sociedad actual, es imprescindible comprender los mensajes matemáticos que se lanzan continuamente a través de los medios de comunicación; es necesario un conocimiento matemático mínimo para analizar y tomar decisiones en el ámbito del consumo y economía personales; con frecuencia es preciso realizar medidas y estimaciones de diferente naturaleza; etc. Dentro de este ámbito de preparación para la vida adulta, es necesario hacer una referencia especial a la necesidad de promover la participación de las alumnas, analizando la forma más adecuada de desarrollar su interés y su propia estima con respecto a las matemáticas, para evitar elecciones estereotipadas que condicionen tanto sus opciones profesionales futuras como su capacidad de actuación como ser adulto.

La aparición y el uso generalizado en la sociedad actual de nuevos medios tecnológicos introduce otra dimensión en la finalidad utilitaria de las matemáticas escolares. Por una parte, el dominio funcional de estos medios tecnológicos precisa una preparación matemática cuyas bases han de ponerse en la Educación Primaria y Secundaria. Por otra parte, su introducción en la escuela ha de tener repercusiones no sólo en cuanto a la manera de enseñar las matemáticas, sino también en cuanto a la propia selección de los contenidos. Conceptos estadísticos sencillos y de uso frecuente, que han estado tradicionalmente relegados en las propuestas curriculares por los problemas de cálculo que conllevan, pueden ahora introducirse sin mayores problemas utilizando de forma apropiada las calculadoras y los ordenadores. Lo mismo puede decirse, por ejemplo, respecto a simulaciones, algoritmos iterativos de cálculo numérico o representaciones gráficas complejas. A la inversa, algunos contenidos prioritarios del currículo actual -como la automatización de los algoritmos operativos con números de muchas cifras, listas de operaciones muy largas, etc.- adquieren una importancia menor, ya que pueden efectuarse fácilmente con la ayuda de la calculadora o del ordenador.

Es necesario, por lo tanto, invertir la tendencia habitual del sistema educativo a permanecer de espaldas a las innovaciones tecnológicas. El ejemplo de la calculadora es significativo: se sigue ignorando o incluso prohibiendo su presencia en la enseñanza de las matemáticas cuando, por su bajo coste y por la utilización que de ella se hace en las actividades de la vida cotidiana, debería ser objeto de especial interés, además de contemplarse como instrumento pedagógico y didáctico de primer orden. Algo similar cabe decir de los ordenadores, pues el "software" educativo responde cada vez más a las expectativas despertadas por la introducción de las nuevas tecnologías en la escuela. En efecto, existen ya programas, dotados de unas características de interactividad y versatilidad, que proporcionan una ayuda inestimable para el aprendizaje de determinados contenidos escolares, entre ellos los de matemáticas.

Los aspectos formativo y utilitario de las matemáticas escolares en la Educación Obligatoria no son en absoluto antagónicos, sino complementarios. La capacidad de aplicar los conocimientos matemáticos a la vida cotidiana, a otros campos del conocimiento o a estudios posteriores no depende exclusivamente de cuáles son estos contenidos, sino también de cómo han sido construidos y utilizados en la escuela. Dicho de otra manera, estudiar contenidos matemáticos objetivamente útiles como la medida, la semejanza o las operaciones numéricas no garantiza que se sepan aplicar oportunamente en ocasiones posteriores. La realización de un aprendizaje significativo exige que el alumno observe, se haga preguntas, formule hipótesis, relacione los conocimientos nuevos con los que ya posee, obtenga conclusiones lógicas de las proposiciones y datos a su alcance, etc. En suma, exige que construya en paralelo hechos, conceptos, procedimientos y estrategias relativos al conocimiento matemático; y también que adquiera unas actitudes que le lleven a reconocer y valorar la utilidad de las matemáticas y a desarrollar un sentimiento de autoeficacia y competencia en este ámbito.

En resumen, el enfoque adoptado en este Diseño Curricular Base parte de la consideración de las matemáticas como un poderoso instrumento que permite representar, analizar, explicar y predecir hechos y situaciones de una forma rigurosa, concisa y sin ambigüedades. La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas debe estar por lo tanto presidida por la preocupación de que, en el transcurso de la escolarización obligatoria, los alumnos desarrollen y aprendan un conjunto de recursos eficaces para conocer mejor la realidad en la que viven y poder así actuar en y sobre ella. El acento recaerá más en la adquisición de conceptos y procedimientos de tipo general, que sean aplicables a un amplio abanico de situaciones, que en la adquisición de conceptos y procedimientos de ámbito restringido, aunque sean más eficaces y rigurosos. El manejo correcto de las notaciones simbólicas, así como la explotación de las enormes posibilidades que encierran para conocer y operar sobre la realidad, deberán engarzarse sobre una comprensión de los conceptos matemáticos básicos, y no al revés. La construcción progresiva del conocimiento matemático transitará por una vía inductiva, tomando como dato primigenio la propia actividad del alumno y utilizando sus intuiciones, tanteos y aproximaciones heurísticas estrategias personales elaboradas por los alumnos para afrontar las tareas y situaciones planteadas- como punto de partida para una reflexión que conduzca, de forma progresiva, a planteamientos más formales y deductivos. La adquisición de una actitud positiva hacia las matemáticas, del gusto por ellas y de la confianza en la propia capacidad para aprenderlas y utilizarlas, es otro aspecto básico que debe tenerse en cuenta para lograr la funcionalidad del resto de los aprendizajes.

Las matemáticas en la Educación Primaria

Las consideraciones precedentes sobre el conocimiento matemático y sobre el papel que juega en el desarrollo global de los alumnos muestran hasta qué punto las contribuciones de esta área son decisivas para alcanzar los Objetivos Generales de la Educación Primaria. En efecto, mediante el aprendizaje de las matemáticas los alumnos desarrollan su capacidad de pensamiento y de reflexión lógica, y adquieren un conjunto de instrumentos poderosísimos para explorar la realidad, para representarla, explicarla y predecirla, en suma, para actuar en y sobre ella.

Tradicionalmente, la enseñanza de las matemáticas en la Educación Primaria ha estado fuertemente determinada por dos tipos de reflexiones: las relativas al nivel de desarrollo intelectual y de competencia cognitiva de los alumnos y las relativas a la estructura interna del conocimiento matemático. Respecto a las segundas, se ha subrayado sobre todo que las matemáticas no son un conjunto de elementos desconectados, sino que poseen una estructura interna, con una fuerte componente jerárquica entre sus partes, que impone una determinada secuencia temporal en el aprendizaje. De este modo, la estructura interna del saber matemático se ha convertido a menudo en el punto de referencia único para la selección , organización y secuenciación de los contenidos de aprendizaje en la Educación Primaria.

Esta manera de proceder ignora la diferencia, esencial desde el punto de vista pedagógico, entre, por una parte, las características del saber matemático en un estado avanzado de elaboración y, por otra, el proceso de construcción del conocimiento matemático. Como ya se ha mencionado, la formalización, el rigor, la coherencia, la ausencia de ambigüedad y las otras características del conocimiento matemático no son el punto de partida, sino más bien el punto de llegada de un largo proceso de construcción. Es en este sentido que la elección de la estructura interna del saber matemático como único punto de referencia para la selección, organización y secuenciación de los contenidos del aprendizaje no parece una opción adecuada, siendo necesario introducir igualmente criterios relativos a la naturaleza del propio proceso de construcción.

Algo similar cabe decir en cuanto a las consideraciones relativas al nivel de desarrollo intelectual y de competencia cognitiva de los alumnos. En la medida en que el aprendizaje de las matemáticas se entienda como la apropiación por parte de los alumnos de un saber constituido y acabado, es evidente que su capacidad para asimilar y aprehender la estructura interna de dicho saber condicionará la posibilidad misma de llevar a cabo el aprendizaje. Por el contrario, si el aprendizaje de las matemáticas se contempla, como es el caso en este Diseño Curricular Base, como un proceso de construcción y de abstracción de relaciones, progresivamente más complejas, elaboradas en y a partir de la actividad del alumno, entonces las características psicoevolutivas de los alumnos, sin dejar de jugar un papel esencial, difícilmente podrán ser consideradas como el punto de referencia único para la selección, organización y secuenciación de los contenidos del aprendizaje. En efecto, buena parte de los conceptos y procedimientos matemáticos que, por su grado de formalización, abstracción y complejidad, escapan a las posibilidades de comprensión de los alumnos hasta bien entrada la adolescencia, aparecen sin embargo de forma intuitiva y práctica en las actividades escolares y extraescolares de los alumnos de la Educación Primaria convirtiéndose, de este modo, en objeto de atención preferente de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en esta etapa educativa.

De lo dicho hasta aquí se infiere que, en la Educación Primaria, el proceso de construcción del conocimiento matemático debe utilizar como punto de partida la propia experiencia práctica de los alumnos. Las relaciones entre las propiedades de los objetos y de las situaciones que los alumnos establecen de forma intuitiva en el transcurso de sus actividades pueden convertirse en objeto de reflexión dando paso, de este modo, a las primeras experiencias específicamente matemáticas. En un primer momento, estas experiencias matemáticas serán de una naturaleza esencialmente intuitiva y estarán vinculadas a la manipulación de objetos concretos y a la actuación en situaciones particulares.

Conviene tener presente, sin embargo, que la experiencia práctica sólo constituye un punto de partida -en el que será preciso detenerse en ocasiones durante períodos de tiempo ciertamente dilatados-, y que la construcción del conocimiento matemático obliga a una abstracción y una formalización crecientes. Quiere esto decir que la experiencia práctica y la comprensión intuitiva de nociones, relaciones y propiedades matemáticas ha de ir enriqueciéndose progresivamente con formas de representación (por ejemplo, dibujos, esquemas y otras formas de representación gráfica) que permitan trascender la manipulación concreta de objetos y situaciones hasta llegar, en último término, a una comprensión plena de las mismas mediante el manejo adecuado de las notaciones y operaciones simbólicas de tipo numérico, algebraico o geométrico.

Son muchos los conceptos y procedimientos matemáticos cuya comprensión plena en el sentido apuntado escapa a las posibilidades intelectuales de los alumnos de la Educación Primaria. Sin embargo, esto no implica, como ya se ha dicho, que deban excluirse necesariamente como objeto de aprendizaje. Por una parte, su introducción de forma más o menos intuitiva durante esta etapa permite iniciar el largo camino que lleva desde la reflexión sobre la propia actividad hasta los niveles más abstractos, formales y deductivos del conocimiento matemático. Por otra parte, mucho antes de que sea posible alcanzar su comprensión plena, algunos de estos conceptos y procedimientos (por ejemplo, sistema de numeración decimal, estrategias de conteo, operaciones aritméticas, unidades de medida, etc.) adquieren un valor instrumental que se corresponde plenamente con las necesidades e intereses de los alumnos de la Educación Primaria.

En cualquier caso, el hecho de tomar como punto de partida para la construcción del conocimiento matemático la propia experiencia y la reflexión sobre la misma con el fin de ir avanzando, progresivamente, hacia niveles más elevados de abstracción y de formalización posee importantes implicaciones para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en la Educación Primaria. Sin menoscabo del desarrollo del que son objeto en el apartado de Orientaciones Didácticas y para la Evaluación, señalemos, por ejemplo, que el planteamiento expuesto aconseja:

o conceder prioridad al trabajo práctico y oral, introduciendo únicamente las actividades descontextualizadas y el trabajo escrito (utilización de notaciones simbólicas) cuando los alumnos muestren una comprensión de los conceptos matemáticos y un interés por los mismos;

o conceder prioridad al trabajo mental (y, en especial, al cálculo mental) con el fin de profundizar los conocimientos matemáticos intuitivos antes de pasar a su formalización;

utilizar ampliamente actividades grupales de aprendizaje que favorezcan los intercambios, la discusión y la reflexión sobre las experiencias matemáticas;

prestar especial atención al desarrollo de estrategias personales de resolución de problemas, potenciando la inclusión en las mismas de los conocimientos matemáticos que se vayan adquiriendo (representaciones gráficas y numéricas, registro de las alternativas exploradas, simplificación del problema,..);

o utilizar los distintos ámbitos de experiencia de los alumnos, escolares (otras áreas del currículo: conocimiento del medio, actividades físicas y deportivas, actividades artísticas, etc.) y extraescolares, como fuente de experiencias matemáticas.